多項式環はモノイド環だ。 一変数多項式の場合使われているモノイドは自然数 \(\mathbb{N}\) の加法モノイドだ。 もちろん「自然数」は \(0\) 以上の整数という意味で使っている。 多変数多項式の場合のモノイドは有限生成自由可換モノイドだ。 若干大仰に響くが、要するに自然数の直積 \(\mathbb{N}^n\) に他ならない。
モノイド環と言うからには、多項式はこれらを基底とする有限形式和なのだが、 たとえば整数係数の自然数の和を見たらただの整数に見えてしまうので、 表示の上では「変数」または「不定元」と呼ばれる無意味なラベルを導入してモノイドの演算を乗法にする。 したがって自然数(の直積)上のモノイド環とラベル(の順序付き集合)の対が通常の意味での多項式環である。
今まで述べてきたものは(少なくとも変数部分は)可換な多項式だが、 世の中には非可換多項式というものを考えたい人もいる。 非可換多項式環はモノイドを有限生成自由モノイドに取り替えれば実現できる。 非可換多項式では「変数と係数は可換」と説明し始めることもあるが、 これは式の見た目としてはその通りだったとしても、モノイド環として考えた場合は無意味である。 そもそも係数と基底の並びは積ではない。
非可換の話はこれぐらいにして、可換な多項式環に戻ろう。
多項式には次数という数が付随する。 ひとまず一変数多項式での話を思い出そう。 係数が \(0\) でない項の中で、通常の自然数の大小の意味で最大の基底をその多項式の次数という。 このように定義すると一つだけ問題があって、それは零元の扱いである。 零元には係数が \(0\) でない項が無い。 モノイド環の積の定義から、多項式の積の次数が(係数の積が消えてしまわない限り)次数の和になる。 これを零元でも満たすようにするためにはその次数を自然数の加法に対する零元にするしかない。 が、そんなものはないので添加する。 一般には \(-\infty\) で書かれる元を \(\mathbb{N}\) に対する零元として添加したモノイド \(\mathbb{N}_{-\infty}\) 、それが次数の値域となる。
多変数の場合も同様である。 元々の基底である有限生成可換モノイドに零元を添加したモノイドが次数の値域となる。 全次数といって和で代表する場合も同様になる。
さて、いま多変数の場合にごまかした部分があって、「最大の基底」を決める全順序について何も述べていなかった。 この全順序は普通「単項式順序」(monomial order)と呼ばれるが、 \(\mathbb{N}^n\) の順序という意味である。 ここでは記号は特に工夫をせず \(<\) で表すことにするが、次のような性質は満たさなければならない。 \(\mathbb{N}\) の順序の定義の自然な拡張として 任意の \(\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n\) に対して \(\alpha + \gamma = \beta\) となる \(0\) でない \(\gamma \in \mathbb{N}^n\) が存在するならば、 \(\alpha < \beta\) である。 特に \(0 < \alpha\) が \(0\) でない任意の \(\alpha\) に対して成り立つ。 当然、モノイドの構造つまり加法と両立しなければならない。 すなわち任意の \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}^n\) について、\(\alpha < \beta\) であれば \(\alpha + \gamma < \beta + \gamma\) である。 これらを満たす全順序は複数種類存在する。 たとえば辞書式順序などがそうである。
最後に代入について述べよう。
多項式環をモノイド環として見ると、「代入」によって冪乗や係数との積が取られることは全く自明ではなくなるが、説明付けることは可能だ。 いま可換環 \(R\) と \(R\) 代数 \(S\) がある状況を考えよう。 \(R[\mathbb{N}^n]\) の元 \(f\) に \(s \in S^n\) を代入するとは、 \(\mathbb{N}^n\) から \(s\) で \(S\) の積により生成されるモノイド \(\langle s \rangle\) への準同型で \(R[\mathbb{N}^n]\) を \(R[\langle s \rangle]\) に写した上で、 \(\langle s \rangle\) の元を \(S\) の元と考え、係数を \(R\) の作用と考え、形式和を \(S\) の和に読み替えて、全てを \(S\) の中で評価した結果を得ることを言う、ということになるだろう。 これで \(0\) を代入したときに(まずいことが起こらずに)定数項が残ることや、実数係数の多項式に行列を代入できることも説明できているはずだ。
以上、多項式環はモノイド環だという立場で押し通してみた、でした。 (多項式環の定義には他に「係数環を含む環であってある元を取ると…」と先に何もかも揃ったところから出発する流儀などがある)
