2018年5月22日火曜日

接続行列

昔書いた論文 (末尾参照) の前半部分は何だか無駄が多かったような気がふいに湧いてきました。

無向グラフの接続行列を考えます。 辺 \(e_j\) が頂点 \(v_{i}\) と \(v_{i'}\) に接続しているとき、\(i,j\) 成分と \(i',j\) 成分に \(1\) が入り、 \(j\) 列目の残りの成分は \(0\) となるような行列です。

接続行列の核、つまりこの接続行列を(\(\mathbb{Q}\) 上)線型写像だと思った時の核は、長さが偶数の閉じた道に対応します。 ここでいう「道」は、同じ頂点や辺を通ってもいいけど同一の辺への折り返しは無し、です。 なぜそうなるかは、核が「辺に数を割り当てたときに接続する各頂点上で和が 0 になるものを集めたもの」だからです。 たとえば長さが偶数しか出てこないのは正と負がバランスするためだし、折り返しができないのは折り返しの前後の同じ辺に正と負を同時には割り振れないからです。

というようなことが、グラフ理論の本にはなかなか出てこないような気がして一応書いています(もちろん知られている議論です)。 \(\mathbb{F}_2\) 上での核がサイクルに対応します、みたいな命題は見ますが。

次に、ハイパーグラフで同じように考えます。 接続行列・頂点・辺という用語をそのまま流用します。 ハイパーグラフの接続行列とは、辺 \(e_j\) が頂点 \(v_{i_0}, \ldots, v_{i_k}\) に接続しているとき、\(i_0,j\) 成分, \(\ldots\), \(i_k,j\) 成分に \(1\) が入り、 \(j\) 列目の残りの成分は \(0\) となるような行列です。

考えたいハイパーグラフは、無向グラフの共通頂点を持たない奇サイクル二つを合わせたものを一つの辺として追加したようなものです。 この辺に \(2\) を割り当てて、元にした奇サイクル上の辺にそれぞれ \(-1\) を割り当てるとハイパーグラフの接続行列の核に入ります。 いわばこの関係が追加する辺の定義です。 他にも追加した辺に関わる関係式が「接続行列の核を計算するだけで」手に入ります。 グラフに対する閉じた道のような一言で説明できる何かに対応しているわけではないですが、議論は完全に同じように進みます。

論文ではこういう方法を採らずに多項式の用語で、生成系に入る二項式の形を挙げていってこれで十分、みたいなことをやっていました。

Matsui, T. "Ehrhart Series for Connected Simple Graphs" Graphs and Combinatorics (2013) 29: 617. https://doi.org/10.1007/s00373-011-1126-y

2018年5月6日日曜日

メンテナンス

久しぶりにこのブログのテーマ設定を開いたらいつの間にか「モバイル」という別設定ができていて、MathJax がモバイルでは効いていないことが発覚したので修正した。 まず、モバイルのテーマを「カスタム」にする(多分それ以外の方法だとタグを埋め込めない)。 「HTML編集」で MathJax の読み込み用タグを(いつの間にかできていた)モバイルとの条件分岐の外に出す(非モバイルのブロックに入れられていたので)。 以上。

ついでに MathJax の CDN も一年遅れで cdnjs に移行した。

2018年5月4日金曜日

肩掛けスピーカーを買ってみた

前回の続き、と言えなくもない。

Mac mini の一番の不満点は、音がしょぼいこと。 今までの MacBook Air では内蔵スピーカーの音で特に不満なく過ごしていたのだが、 Mac mini では音楽を聴くためにスピーカーが欲しいと思ってしまった。

据え置き式のスピーカーとか、ヘッドホンとか、選択肢はいろいろあるが、 場所をとらないし耳に接触しない今流行の肩掛けスピーカーにしてみた。 買ったのは JBL Soundgear というやつ。 4月下旬に出たばかりで、だいたい2万円。

使用してみた感想としては、長短相半ば、といったところ。

  1. 首から上に直接接触しないので不快感が無い。が、長時間使うと若干肩がこる。
  2. 立ち上がったり寝そべったり自由に動ける。が、少し離れると音飛びする。
  3. 電源ON/OFF時に鳴る通知音がうるさい。ボリュームを絞れないのはどうかしている。

2番目の点に関して、ワイアレストランスミッターというのを挟んでみた。 これはイヤホンジャックの音を Bluetooth で飛ばしてくれるというもの。 TaoTronics という中国メーカーのやつ(Soundgear にトランスミッター付きのもあったみたいだけど買うときは気づかなかった)。 だいたい3千円。 直接 Mac mini の Bluetooth から受けていたときは、本当に音が途切れることがあったが、 これを挟むと同じぐらい離れてもアナログレコードのノイズみたいなのが時々鳴る程度までは改善する。 音楽を聴く用途としては、結局あまり嬉しくないわけではあるが。

さて、最後に音質の話。 といって、語れるほど音質にうるさいわけではないので、大まかな注意点的なものを少し。 最初小さめの音量で聞いていたら低音ばかり強調されて人の声などの中音域が沈んで聞こえたが、音量を上げたら割と自然な感じに聞こえた。 これが装置側の都合なのか、人間(私)の聴覚の問題なのか判らないが、音量の好みと音域のバランス感がかみ合わない可能性はある。 トランスミッターを使うときは、もしかしたら常識の範疇かもしれないが、トランスミッターの入力になるイヤホン出力は最大にして使うべき。 最初これに気付かずにくぐもった音になり首をひねった。

2018年4月9日月曜日

MacBook Air の死亡

2018年3月28日、全然新しいモデルが出ないため買い替えずに使ってきた MacBook Air が死んだ。 TimeCapsule がしばらく前に死んでバックアップしていなかったので NAS を導入して TimeMachine として使う設定をした矢先だった。 設定だけしてまだバックアップが一度も終わっていない、その状態で突然、キーチェーンが読めない、というようなメッセージが出始めて(止せばいいのに)再起動をかましたら二度と立ち上がらなくなった。

一応ビックカメラのカウンターに持ち込んでみたものの、SSD が破損して修理不能と薄々そんなことではないかと思っていたことが裏付けられただけだった。

仕方がないので、買い替え機種選定。 正直会社員になってから MacBook Air を家の外に持ち出す機会は全然なくなっていたので、必ずしもノートである必要性はない。 それに、今アップルのノートはあまり魅力的な機種がない。 ということで、アップルなら Mac mini。 ノートが欲しければ、台湾メーカーの手頃なの。 ぐらいで漠然と考えて、Windows 機を買って Windows で使うのはきっと無理だから Linux を入れることになるという面倒臭さに負けて、結局 Mac mini。 Dell の24インチモニタと合わせて10万ぐらい。

Amazon で購入したら、Mac mini になぜかアカウント設定がされていて、OS 再インストールからしないといけない、といったハプニングがあり、 手持ちの Bluetooth ThinkPad キーボードだけで乗り切るつもりが、それを認識させる前にキーボードが必要になったために急遽有線キーボードを買う羽目に。 安物のキーボードは約1000円で買えるという学びを得た。

そんなこんなもありつつようやく10日ぶりにネットに繋がる生活を取り戻しつつある。 (いや、もちろんモバイル端末で Amazon での購入含め行なっていたわけで、ネットから遮断されていたわけではないのだけれど)

さて、最後に残った問題が、色々なデータが失われたこと。 何せ、最初に書いたように TimeMachin が機能し始める前に死んだので、バックアップが2月ごろに手動で取った部分的なデータ(メール、音楽データ、書類フォルダ)ぐらいしかない。 git レポジトリとかは、github, bitbucket に上げてなかったものは(大昔のバックアップに残っているむしろ要らなそうなもの以外)消えた。 割とヤバい感じなのが各種アカウント周り。 パスワードを忘れたサービスは数知れず、ssh キーは失われた。 iCloud のキーチェーンと、google のアカウントに紐づいた Chrome のパスワード情報はあるので、言うてそこまでではないかも知れないが、今一番の気がかり。

そして、最後の砦たるそのバックアップに使っていたディスクからも時々くしゃみのような異音が…。 コピーしている途中で時折「***内の一部のデータを読み込めないか書き込めないため、操作を完了できません。(エラーコード-36)」と出る。 ヤバいヤバい

2018年3月12日月曜日

3月10日-11日鳥羽・名古屋

1泊2日で鳥羽と名古屋に行ってきた。ということで、メモ的な。

鳥羽

主目的地は鳥羽水族館。 一人で来館する人を対象とした「ひとリウム」という企画をやっていて、しかも3月10日はへんな生きもの研究所の生物がテーマだという。 へんな生きもの研究所の飼育日記がいつも面白いので、これはちょっとそそられる、というのが唐突に鳥羽なんぞに行く動機である。

朝の8時前に家を出て、1時少し前に鳥羽駅に着く。 そこから10分ほど海沿いを歩くと鳥羽水族館である。

実際にイベントに参加してみたら意外にも女性の方が多かった。 参加者は10名ぐらいだったか。 話をしてくれた飼育員はいつもその飼育日記を書いている人ではなく、 最初に餌やりを5種類ほど見せてくれたのだが、 もっとへんな生きものたちへの偏愛を語ってくれるのかと思っていたので、いささか拍子抜けの感が。 その後、水槽を裏側を見せてくれたりなどイベント自体は30分ほどで終了。

一通り館内を見て回って思ったのは、水槽の中の生き物が他の水族館に比べて密度が高いということ。 ウツボがうじゃうじゃとか、伊勢エビがわさわさとか。

へんな生きもの研究所にももう一度行ってじっくり見て回った。 ユミヘリゴカクヒトデのシダムシ(寄生する甲殻類)の標本とか、 その飼育日記で取り上げられ新種と確認されたトリカジカエラモグリというウオノエの一種の標本とか、 鏡餅のように二段重ねになるウニとか(意外に実物は小さい)、 移動はしないけど体の各部はそこそこ動いているダイオウグソクムシとか。 飼育日記がよりいっそう楽しめそう。

水族館をじっくり見ても3時間も持たなかったので、少し散歩。 鳥羽市立図書館にポータルを落としに行き、鳥羽城跡を経由して駅へ。

名古屋

宿を名古屋に取って一泊したのは、ついでに降り立ったことのない名古屋を見て回ろうと思ったから。

ということで、基本的に徒歩で名古屋城とか…観光地っぽいのはそこだけか。 大須の近くは通り過ぎたし、堀川沿いも少し歩いた。 この日はマラソン大会(マラソンフェスティバル名古屋愛知)とかいうので交通規制で街が分断されていて、街の東側には行くのが大変そうだったので、そっち方面はまた次の機会ということに。 で、名古屋城だが、天守閣は昭和に空襲で焼けて建て直したというだけあって、いわば城の外観をした博物館みたいなもの。 リアリティの再現に向かわないのが昭和っぽいな、という感想。 本丸御殿を現在再建中で一部が公開されているが、こちらはリアリティ追求型でとても現代っぽい。

名古屋メシは、お昼にきしめんを食べたぐらい。 まあ、米を選択肢に入れない、朝は食べない、となると選択肢はほとんどない。

新幹線

さて、帰ろうと思ったちょうど午後4時過ぎに静岡県内で停電して新幹線が止まってしまった。 復旧を待つ選択肢もあったとは思うのだが、いつも西から帰るときに一瞬だけ考えて結局実行に移したことのなかった、中央本線ルートを使うときが来た! と、長蛇の列のカウンターで新幹線から中央本線の特急に変更してもらい、いざ。 17:40発の長野行き「しなの」で塩尻まで、そこから新宿行き「スーパーあずさ」に乗り換え。 塩尻では30分ぐらい待ち時間があるし駅そばでもと思っていたら19時で閉店していた。 そう、この時点で2時間が経過しており、東海道新幹線も再開したとか何とか…。 で、真新しいスーパーあずさで立川まで来ると、中央線は三鷹で乗り換えなくて良い各駅停車運行の時間帯になっていた。

ということで、中央線で東京に出て新幹線で名古屋まで、名古屋から近鉄で鳥羽、鳥羽から名古屋へはJRの快速みえ、そして名古屋から中央本線、とこの二日の主な鉄道移動が図らずも一筆書きルートだった。

2018年1月2日火曜日

2017年の読書

2018年が始まったので、2017年に読んだものの中で印象に残っているものを紹介する。 去年も書いていたのでとりあえず書き始めてはみたが、そこまで鮮烈な印象の本がなかったりする。

デイヴィッド・ホロビン「天才と分裂病の進化論」 ジュリオ・トノーニ / マルチェッロ・マッスィミーニ「意識はいつ生まれるのか」 前者は脂肪の代謝に注目して統合失調症と人類の進化を説明しようという試みで、 後者は脳がどれぐらい複雑になりどう機能すれば意識があると言えるかを測る理論について。 どちらも、定説とはなっていない理論の本。 定説となっていない分、勝手に空想を膨らませる余地があって楽しい。 その他、グリア細胞の本とかアルツハイマーの本とか、わりと2017年の読書対象は脳に関わるものが多かったかな。

マンガは、読み続けているものを除くと白浜鴎「とんがり帽子のアトリエ」が一推し。 この作者は2013年の読書に紹介した「エニデヴィ」の人。 つまりまあ新規開拓は特にめぼしいものはなかった。

数学の本は、幾何が絶望的に解っていないなあと思ったので幾何寄りのものが多かった。 IT系はドメイン駆動の本も読んだけど、一番記憶に残っているのは Elixir かもしれない。

※本のリンクはamazonアフィリエイトです。

2017年11月9日木曜日

素イデアルが無限に存在する

素数が無限に存在するという定理の証明に、次のようなものがある。

整数全体の集合において、その部分集合で等差数列 (\(-\infty\) から \(\infty\)まで) をなすもの全体を考える。 2つの等差数列の交わりは空集合であるかまたは等差数列であるから、これを基底として整数全体に位相が導入でき、それを \(S\) とする。 実は、この位相のもとで \(S\) は正規であり、第2可算公理を満たすから距離付け可能なことが示される。 各等差数列はその補集合が(同じ差をもつ)他の等差数列の和集合であるから、開集合であると同時に閉集合である。 ここで集合 \(A=\cup_p A_p\) (\(A_p\) は \(p\) の全ての倍数からなり、\(p\) は2以上のすべての素数を動くものとする) を考える。 空でない開集合は等差数列の和であるから無限集合である。 \(A\) に属さない数は \(-1\) と \(1\) だけであり、集合 \(\{-1, 1\}\) は明らかに開集合でないから \(A\) は閉集合になることはできない。 よって \(A\) は有限個の等差数列 \(A_p\) の和集合となることはなく、これは素数が無限に多く存在することを証明している。

上の引用は Ribenboim「素数の世界」共立出版 からとった。 元々は Fürstenberg, On the infinitude of primes. Amer. Math. Manthly, 62, 1955 によるものである。

証明の肝は 1. 等差数列は開集合かつ閉集合、 2. 単数は有限個、 という部分である。 この議論を一般化すると、もう少し一般的な環でも「素イデアル」が無限に存在することが示せる。 まあ、そんなことを証明したいことがあるのか知らないが。

命題: 整域 \(R\) は次の3条件を満たすとする。 0. \(R\) は無限集合、 1. 任意の極大イデアルの剰余類は有限個、 2. 単数は有限個。 このとき \(R\) には無限個の極大イデアルが存在する。

証明: \(R\) における全ての極大イデアルとその剰余類から生成される位相を考える。 このとき空集合以外の開集合は無限集合である。 単数全体の集合 \(R^{\times}\) は有限集合だから開集合ではないことがわかる。 極大イデアルは、自身を除く剰余類の有限和集合の補集合であるから閉集合である。 単数以外の元はいずれかの極大イデアルに属するので、\(R \setminus R^{\times}\) は極大イデアルの和集合である。 各極大イデアル自体は閉集合だが、この和集合は補集合が開集合にならないので閉集合でない。 したがって、極大イデアルが無限に存在しなければならない。

たとえば虚2次体の整数環では単数が有限個なのでこの証明が通用する。 というか \(\mathbb{Z}[i]\) のイデアルについて考えているときに上に引用した証明を思い出して、 \(\mathbb{Z}[i]\) でもいけるなあと思っただけの話だったのだ。