Midnight Floating Thought

ないかもしれないな。まあ、あれだよ。適当な環と集合をもってきて、環の元で重みをつけて集合の元を足し合わせたものだよ。 — 重みとは何でしょう? 足し合わせるとは? 「重み」という言葉には意味は無いよ。環の元と集合の元とを対にして扱う、という気持ちだな。後なんだっけ、「足し合わせる」？　書き並べるに当たって、区切り記号が + ってだけだよ。 — 本当にそれだけですか? ん? — それだけなら、コンマで区切って並べても良いわけじゃないですか。 意外と鋭いね。そうだな、足し算と思いたい事情もなくはない。一つめは、並べる順番に意味が無いということだな。違う順番に書き並べても違うものとは思わないことにしておきたい。もう一つは、同類項をまとめてしまいたい。 — 同類項。 集合の同じ元を2回使う場面があったら、その足し算は係数の環の方に寄せてしまって一つにまとめられるだろう。だから、集合の同じ元を使った項をまとめられる項という意味で同類項と言うわけだ。 — 係数という言葉が出てきましたが… 重み重み。 — はい。その重みですが、今のところ環の元である必要性は無いように思えます。足し算しか… いやそれはさあ、君。重箱の隅ってものだろ。現実的な使用に即して話しているわけだからさ。デフォルトは整数だし良く使われるのはむしろ体だったりするのに、何だ、アーベル群で良いだろうっていうことか。 — いけないでしょうか。 うーん。いけなくはない。いけなくはなさそうだが…

数学の対象は存在ではなく現象である。 というフレーズを思いついた。 1 という対象はどこにも存在しない。 整数という対象は存在しない。 整数の論理的条件に合致する現象について考えることしかできない。 最近、ホモトピー型理論 HoTT (Homotopy Type Theory) という理論を聞きかじった。 そこに univalence axiom (テキトーに訳すと「統価公理」)という要請がある。 ざっくりした理解で言えば、同じ振る舞いをする型は同じ型ということにする、という原理である。 実装の違いに依らず整数は整数、というような説明をされる。 この理論を計算機科学の文脈で捉えるだけなら実装と言っておけば良いのだが、 集合論に代わる基礎論の文脈からはこれをどう考えるのだろう、とどこか引っかかっていた。 整数のように振る舞う対象は整数である。 そう考えると、全ての自由巡回群は整数である。 集合論的には別物に見えても、同じ振る舞いしかしないのだから。 つまり、整数について語ることは個別の存在について語っていると言うより、整数という現象について語っているのだ。 これがたどり着いた結論である。 数学では存在量化子という記号を使って存在について語っているように見える。 しかし、現象についてしか語っていないとすれば、この記号は別様に解釈しなければならない。 古典論理では、「外れることのない現象の予言」と見なせるだろう。 外れることがないのだからそれに基づいてさらなる予言を積み重ねることが正当化されるという立場。 しかし直観主義論理では「成就への筋道が示された現象の予言」しか受け入れない。 外れないのは必ず当たることとは別だという立場である。 プラトニズムのお花畑から距離を置くことができたかな。

恒例なので、去年読んだ本から記憶に残ったものを紹介する。 2019年は読んだ冊数が少なかった気がする。 2018年の後半にいくつか読んでいた数の体系の話は、2019年も少し引き続いた。 読んだ本で言うと高木貞治「 数の概念 」(最近 ブルーバックス でも出た)、足立恒雄「 フレーゲ・デデキント・ペアノを読む 」。 結局実数を成り立たせるように現在の数学ができているという確認に終わった。 科学系では生物の本も読んだように思うが、あまり記憶に残っていない。 インパクトが大きかったのは主に物理学で、特にカルロ・ロヴェッリ「 すごい物理学講義 」「 時間は存在しない 」。 単発では「 原子核から読み解く超新星爆発 」が印象に残っている。 その他のジャンルでは紀田順一郎「 蔵書一代 」は考えさせられた。 ※本のリンクはamazonアフィリエイトです。

前回 、概要を紹介した Aurifeuille 因数分解。 その最後に円分多項式が \(F(X)^2-kX^qG(X)^2\) という形に分解される、というところまで書いた。 今回は、そちらをメインに書いていこうと思う。 と、その前に、タイトルについて補足しておこう。 前回のタイトルが「Aurifeuillian 因数分解」だったのだが、慣習として人名の形容詞形は日本語の中では使わないことを思い出して — Hermitian operator はエルミート演算子、Cartesian coordinates はデカルト座標、のように — 今回は「Aurifeuille 恒等式」というタイトルにした。 最初に記号をまとめておく。 \(k\) を無平方な(素因数の二乗では割り切れない)正整数とする。 \(d\) を \(\mathbb{Q}(\sqrt{k})\) の判別式とする。 \(k \equiv 1 \pmod 4\) ならば \(d=k\)、そうでなければ \(d=4 k\) である。 \(n\) は奇数であって \(d\) で割り切れるか、偶数であって \(d\) では割り切れないが \(2\) 倍すれば \(d\) で割り切れる正整数とする。 つまり \(k \equiv 1 \pmod 4\) ならば \(k\) の奇数倍、そうでなければ \(2 k\) の奇数倍である。 \(q\) はほとんど使わないが、\(q = \prod_{p|n,p\neq 2}p^{v_p(n) - 1}\) とする。 \(n\) を無平方に限っておけば \(q=1\) である。 さて、いろいろ調べてみると、円分多項式に対する恒等式として似たようなものが2種類ある。 1つは主に Gauss の名に紐付けられる、 \[4\Phi_n(X) = A(X)^2-\epsilon k B(X)^2\] という形の恒等式、もう1つが主に Aurifeuille の名に紐付けられる \[\Phi_n(X)　= F(X)^2 - k X^q G(X)^2\] という形の恒等式である。 どちらも円分体とその部分体である2次体との関係を利用するのだが、やり方が少し異なる。 Gauss の方は、円分多項式の根を冪が平方剰余のものと平方非剰余のものに分ける。 \[\Phi(X) = \pr...

ちょっと特殊な因数分解の話。 知っている人にとっては何ら目新しい話ではないのだが、日本語の情報をほとんど見掛けないので書いてみる。 たとえば、こういうぱっと見には不思議な因数分解である: \[16385 = 2^{14}+1 = (2^7-2^4+1)(2^7+2^4+1) = 113 \times 145\] Aurifeuille ( 1 )という19世紀フランスの数学者が最初にこの手の因数分解に言及したとされることから名前がつけられているらしい。 ちなみにこうして分解されるときの小さい方の因子を L、大きい方を M と呼ぶ慣習がある。 因数分解できると言われてみれば確かに、\(2^7+1\) を2乗して、左辺と比べて過剰になった \(2\times 2^7 = 2^8\) を引くと、ちょうどうまく平方の差の形になって、和と差の積に分解できる。 また、簡単な一般化として、\(2^7\) の代わりに \(2^{2k-1}\) つまり \(2\) の奇数乗を使っても同じような因数分解が得られるのも見て取れるだろう。 さらに言えば、\(2 n^2\) を使っても、同じような因数分解が得られる( 3 )。 それを踏まえて振り返ってみると、左辺は実は \(X^2+1\) という多項式に \(2^7\) を代入していたのだ。 この多項式 \(X^2+1\) は4次円分多項式 \(\Phi_4(X)\) と呼ばれている。 円分多項式はこのブログ頻出だが一応おさらいしておく。 \(1\) の原始 \(d\) 乗根全てを根に持つ多項式を \(d\)次円分多項式といい \(\Phi_d\) と書く。 だからたとえば、上の4次円分多項式 \(\Phi_d(X)\) は \(1\) の原始4乗根すなわち虚数単位 \(i\) とその共役 \(-i\) が根である。 式で書けば \(1\) の原始 \(d\) 乗根の一つを \(\zeta_d\) として \[\Phi_d(X) = \prod (X - \zeta_d^k)\] である、ただし \(k\) は \(d\) 以下の \(d\) と互いに素な自然数を走る。 話を戻すと、Aurifeuillian 因数分解と呼ばれるものは、円分多項式に特別な数を代入したときに現れる因数分解なのである。 今後代入される数は \(a\)...