スキップしてメイン コンテンツに移動

Aurifeuillian 因数分解

ちょっと特殊な因数分解の話。 知っている人にとっては何ら目新しい話ではないのだが、日本語の情報をほとんど見掛けないので書いてみる。

たとえば、こういうぱっと見には不思議な因数分解である: \[16385 = 2^{14}+1 = (2^7-2^4+1)(2^7+2^4+1) = 113 \times 145\] Aurifeuille (1)という19世紀フランスの数学者が最初にこの手の因数分解に言及したとされることから名前がつけられているらしい。 ちなみにこうして分解されるときの小さい方の因子を L、大きい方を M と呼ぶ慣習がある。

因数分解できると言われてみれば確かに、\(2^7+1\) を2乗して、左辺と比べて過剰になった \(2\times 2^7 = 2^8\) を引くと、ちょうどうまく平方の差の形になって、和と差の積に分解できる。 また、簡単な一般化として、\(2^7\) の代わりに \(2^{2k-1}\) つまり \(2\) の奇数乗を使っても同じような因数分解が得られるのも見て取れるだろう。 さらに言えば、\(2 n^2\) を使っても、同じような因数分解が得られる(3)。

それを踏まえて振り返ってみると、左辺は実は \(X^2+1\) という多項式に \(2^7\) を代入していたのだ。 この多項式 \(X^2+1\) は4次円分多項式 \(\Phi_4(X)\) と呼ばれている。

円分多項式はこのブログ頻出だが一応おさらいしておく。 \(1\) の原始 \(d\) 乗根全てを根に持つ多項式を \(d\)次円分多項式といい \(\Phi_d\) と書く。 だからたとえば、上の4次円分多項式 \(\Phi_d(X)\) は \(1\) の原始4乗根すなわち虚数単位 \(i\) とその共役 \(-i\) が根である。 式で書けば \(1\) の原始 \(d\) 乗根の一つを \(\zeta_d\) として \[\Phi_d(X) = \prod (X - \zeta_d^k)\] である、ただし \(k\) は \(d\) 以下の \(d\) と互いに素な自然数を走る。

話を戻すと、Aurifeuillian 因数分解と呼ばれるものは、円分多項式に特別な数を代入したときに現れる因数分解なのである。 今後代入される数は \(a\) と書くことにする。 有理数に拡張することもできるのだが、ひとまず整数だとしておく。 どんな \(d\) に対しどんな \(a\) を代入すれば因数分解できるのだろう。

要点はこうである。 有理数体に \(1\) の原始 \(d\) 乗根 \(\zeta_d\) を添加した体 \(\mathbb{Q}[\zeta_d]\) において、 \(a\zeta_d = \beta^2\) となる \(\beta\) が存在したとする。 この仮定の下で \(\Phi_d(a)\) を計算する。 \[\Phi_d(a) = \prod(a - \zeta_d^k) = N(a - \zeta_d)\] ここで \(N\) は \(\mathbb{Q}[\zeta_d]\) の絶対ノルムすなわち共役の積。 \(\zeta_d\) の共役たちがちょうど \(\zeta_d^k\) たちなので、二つめの等号が成り立っている。 さらに \(\zeta_d\) は単数だから \(N(\zeta_d) \in \{1, -1\}\) であり、ノルムが乗法的なのと合わせて、 \[N(a - \zeta_d) = \epsilon N(a\zeta_d - \zeta_d^2) = \epsilon N(\beta^2 - \zeta_d^2) = \epsilon N(\beta + \zeta_d) N(\beta - \zeta_d)\] と因数分解できることになる。ただし正負どちらかの符号となる \(N(\zeta_d)\) を \(\epsilon\) と書いた。

この \(a\zeta_d = \beta^2\) となる \(\beta\) が存在する条件を考えるのだが、 \(\zeta_d\) を掛けて平方数になるかどうかという判断なので、 \(a\) に関する条件が判れば \(a n^2\) に関する条件はそこから導ける。

\(a\) の平方因子をもたない部分 \(a^*\) について、次が必要十分条件であることが知られている。

\(a^*\) が \(d\) を割り切り、かつ次のいずれかを満たす:

  • \(a^* \equiv 1 \pmod{4}\) かつ \(d\) が奇数
  • \(a^* \equiv 3 \pmod{4}\) かつ \(d\) が \(2\) でちょうど1回割り切れる
  • \(a^*\) が偶数でかつ \(d\) が \(2\) でちょうど2回割り切れる

一番下の条件が最初に出した \(\Phi_4\) の例なので、 一番上の条件を別の例として見てみよう。 \(a^*\) として最小の \(5\) を採ると、\(a^*\) が \(d\) を割り切らなければならないかつ \(d\) は奇数なので、最小は \(d=5\) である。 つまり \(\Phi_5(5)\) が因数分解できる。 \[\Phi_5(5) = 5^4 + 5^3 + 5^2 + 5 + 1 = 781 = 11\times 71 = (41-30)(41+30)\] と具体的な数では分解できることが確かめられる。 \(41\) を5進数だと思って表すと \(5^2+3\cdot 5 + 1\)。 \(30\) は \(5^2 + 5\) だが、\(5\) で括って \(5(5 + 1)\) とも書ける。 ここから括り出した \(5\) 以外の \(5\) を \(X\) に置き換えて、 \(30^2\) を二通りの \(30\) の表し方の積とすれば一般に \[\Phi_5(X) = (X^2+3X+1)^2 - 5X(X+1)^2\] とも書けることがわかる。 こうすると、\(X\) が \(5 n^2\) の形なら因数分解できることがよりはっきりと見て取れる。 円分多項式をこのように \(F(X)^2 - kX^qG(X)^2\) の形に表したものを Aurifeuillian 恒等式とも呼ぶ。

具体的な因数分解の様子は参考文献の Prime Wiki が詳しい。

注

  1. 読み方はおそらく　Aurifeuille はオリフュイユ、形容詞形の Aurifeuillian はオーリフュリアン(←英語風。または仏語風にオリフュイヤン?)(2)。
  2. 形容詞形は Aurifeuillean とも書く。
  3. Euler が Goldbach に宛てた手紙の中でこの形に一般化された因数分解に言及していたようだ。Aurifeuille より歴史的には古い。

参考文献

ラベル:

このブログの人気の投稿

「函数」音訳説について探してみる

Twitter に書こうかと思ったが、ちょっと長くなるのでこっちに書くことにする。 「函数」が音訳というデマと、本当の語源 というブログ記事について ツイートされてるの を見た。 詳しい内容はリンクを辿って読んでみて欲しい。 その記事中の「函数」音訳説という部分で、引用されているものが意外と新しい1980年代以降のものなので、さすがにもっと古いだろう、と探してみた。 1. 武部良明「漢字の用法」(1976) このほか武部良明『漢字の用法』（角川書店1976）にも同様の記述があるという（未確認）。 とあって、たまたま同書(三版)を持っているので調べてみた。 「関数」ではなく「関・函」の項にあった。 「函」は「いれる」意味。 したがって、「函数」という漢字の組み合わせからは、「対応して定まる数」という意味は出てこない。 「函数」については function という原語の音 fun を、「函」の音カン（現代中国語 han）で写したものとされている。 これに対し現代表記の「関数」は、全体の意味を「かかりあう数」と考え、「函」の部分を、同音で「かかりあう」意味の「関」に書き換えたものである。 2. 遠山啓「関数を考える」(1972) 近所の図書館で見つけた。 会話体の文章の中で、先生役が言っている。 はっきりはわからないが, 中国語の発音では function と似ていて, しかも意味も近いらしいのだ. 3. 遠山啓「数学は変貌する」(1971) 2012年にちくま学芸文庫から出た「現代数学入門」所収。 「関数を考える」が中学生ぐらいを対象にしたシリーズの一冊なので、そこでいきなり初披露ということは無いだろうと見当をつけて遡って探した。 機能とは簡単にいうと働きです。 ライプニッツが初めてファンクションという言葉を使った. ライプニッツはドイツ人ですが, ドイツ語は当時はいなかの言葉みたいで, フランスが文化の中心であったから, フランス語で書いてありますので, フォンクション (fonction) です. もとは日本では「函数」, あとになって「関数」と改めたのです. なぜこんな函の数という妙な言葉を使ったか, これは中国からきた字です. 中国人は各国語を音まで似せて訳すことがうまい. フォンクションは中国語で函数を中国読みしますと非常に似ているのだそ...
Read more »

「函数」音訳説について探してみる (まとめ)

これは 「函数」音訳説について探してみる 「函数」音訳説について探してみる (辞書編) の続きになるので、まずはそちらを読んでもらえると解りやすいと思う。 ざっくり言うと、函数は function の中国における音訳、という俗説( 「函数」が音訳というデマと、本当の語源 参照)の起源を求めて、できるだけ古い言及を探そうというクエストの記録。 先に結論から言うと、遠山啓「キュート数学I」(1967)ついで「角川新字源」(1968)という1960年代末発行の二つが見つかった。 遠山啓 既に「関数を考える」(1972)と「数学は変貌する」(1971)は見つけていたが、さらに古いものが見つかった。 「キュート数学I」(1967)だ。 元は三省堂から出版されたもののよう(実物は見ていない)だが、二度形態を変えて再度刊行されている。 一つめが太郎次郎社の遠山啓著作集シリーズの「数学教育論11 数楽への招待I」(1981)、 もう一つがソフトバンククリエイティブの「基礎からわかる数学入門」(2013)だ。 先生●それには歴史的な事情があるのだ. ヨーロッパの数学が中国に伝えられたとき, function は「函数」と訳された. 中国語ではやはり function の意味をもっているが, 同時に音も似ているらしい. それがそのまま日本に伝えられ, 「函数」となり, 「函」が当用漢字にないので, それがさらに「関数」になったわけだ. 引用は「基礎からわかる数学入門」によるが、「数楽への招待I」でも約物の違いぐらいで内容は変わらない。 角川新字源 既に辞書編で書いたように、新字源は1968年の初版から音訳説を採っていると思われる。 若干の歯切れの悪さは、Google Books にある1978年発行のもののスキャンより古い時代のものを当たった訳ではないので、 細かい修正の一部として書き直された可能性が捨てきれないことによる。 (スキャンでない現物は近所の古本屋で1989年発行のものだけは見ることができ、1978年のものと同じ文言だった。) その他 「広辞苑」は辞書編で第五版(1999)まで遡ったが、その後第四版(1991)も「函数」の項で音訳説を紹介しつつ「関数」に飛ばす、という同じ内容であることを確認した。 期待して第三版(1983)を調べたら、こちらは音訳説無し...
Read more »

「函数」音訳説について探してみる (辞書編)

前回 は数学の本の中で音訳説に言及しているものを探したが、今回は辞書。 Google Books で検索したら角川新字源が引っかかったので辞書も見た方が良いのかな、というぐらいのことだったのだが、古い辞書を見るのは意外に難しい。 角川書店 武部良昭 「漢字の用法」(1976)が前回見つけた辞典類における一番古い言及だった。 で、新字源。 実物は今のところ手に取れていないが、 Google Books を信じれば、初版(1973)に 函数の函は function の fun の発音を表わす。今は関数と書く。 との記述があるらしい。 (疑っているのは版の扱いで、本当に初版のスキャンなのか、初版が1973年であるところの「新字源」の後の版のスキャンなのかという部分。) 追記1(2018-09-23): 改訂版(1994)を見ることができた。上の引用と同じ文言だった。 そして、初版は1968年。 「1973年」の出所が知りたくて、Google Books で奥付を探してみた(判明した初版出版年の「昭和四十三年」で書籍内検索した)のだが、 出てきたのは 昭和五十三年一月二十日一二五版発行 と1978年を示唆する結果だった。 版と数えてはいるが要は刷のことだろう。 ということで若干引っかかりは感じるが、つまり、改訂版以前の細かい修正の一部として取り入れられた可能性は残らなくもないが、 現時点で発見された一番古い音訳説が「新字源」初版(1968)と言って大丈夫そうだ。 追記2(2018-09-23): 「角川国語大辞典」(1982)にも表記に関する注意として次のように書かれている。 函数は function の音訳。 三省堂 「新明解国語辞典」第六版(2005)では函数の見出しで最初に次のような説明が入る。 function の、中国での音訳。 「函」は「独立変数を含む」という意味も兼ねる 第四版(1989)でも同じ内容を確認した。 初版まで遡れれば1972年となるが、第三版以前については未調査。 一方「三省堂国語辞典」第七版(2013)では語源に言及していなかった。 「大辞林」第三版(2006)も「例解新国語辞典」第二版(1990)も言及無し。 (追記 2018-09-23: 「広辞林」第五版(1973)も言及無し) 岩波書店 意外にも音訳説を押し出し...
Read more »