Midnight Floating Thought

Collatz 予想は、良く知られているように (C) 正整数に対し、偶数ならば2で割り、奇数ならば3倍して1を足す なる操作を繰り返すと、全ての正整数は1に到達する。というものである。この操作を (C2) 正整数を2進数として見て、1の位が0ならば1桁下位にシフトし、1の位が0でないならば1桁上位にシフトしたものを足して1の位を繰り上げて0にする と読み替える。これの3進数類似を考える。「1の位を繰り上げ」るのは丸め方の指示だと思うと、同様に全て繰り上げる方法の他に近い方に丸めるという方法もある。 (C3-ceilling) 正整数を3進数として見て、1の位が0ならば1桁下位にシフトし、1の位が0でないならば1桁上位にシフトしたものを足して1の位を繰り上げて0にする (C3-round) 正整数を3進数として見て、1の位が0ならば1桁下位にシフトし、1の位が0でないならば1桁上位にシフトしたものを足して1の位を丸めて一番近い3の倍数にする この二つの規則を考えてみよう。 C3-ceilling まずは計算しよう。 1→6→2→9→3→1 4→18→6... 5→21→7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21（ループ） 8→33→11→45→15→5... 12→4... 13→54→18... 16→66→22→90→30... 17→69→23→93→31→126→42... ... は既出の列に合流した、という意味。 1を含むループに落ち込むケースと7を含むループに落ち込むケースがあるようだ。 C3-round こちらも計算してみよう。 1→3→1 2→9→3... 4→15→5→21→7→27→9... 6→2... 8→33→11→45→15... 10→39→13→51→17→69→23→93→31→123→41→165→55→219→73→291→97→387→129→43→171→57→19→75→25→99→33... 12→4... 14→57... 16→63→21... 18→6... ここまで全て1...

読書メーターの記録 によるとマンガも入れて101冊。 久しぶりに年100冊に乗った。 前年からの勢いのままに菌類関係の本をいくつか読んだが深澤遊の「キノコとカビの生態学」「枯木ワンダーランド」は面白かった。 後半はファーブル昆虫記を読破した。岩波文庫の古い訳で読んだのが良かったのか良くなかったのか。 数学関係は、前半表現論の本を読んで表現とは加群のことであるという言葉で何だかすっきりした。 年の終わり近くはラングランズ予想というか楕円曲線と保型形式とガロワ表現とみたいな内容の本をいくつか。「ラングランズ予想」というそのものズバリなタイトルの本も出たのでその内読みたい。 マンガは、「ヴィンランド・サガ」も「アルテ」も「推しが武道館に行ってくれたら死ぬ」も完結して、読み続けるタイトルが少なくなってきた。

Youtube の Numberphile チャンネルで最近出た Schur Number の動画を見た、 そこでのシューア数の定義は OEIS の "version 1" の方 Smallest number such that for any n-coloring of the integers 1, ..., a(n) no color is sum-free, that is, some color contains a triple x + y = z. だったが、 "version 2" の Largest number such that there is an n-coloring of the integers 1, ..., a(n) such that each color is sum-free, that is, no color contains a triple x + y = z. の方が解り易いからこちらで話を進める。version 2 の方が 1 小さい値になるというだけの違いがある。 動画の内容は \(a(n) = 160\) になる証明が2ペタバイトのデータ量で凄い、みたいなこと。 結局、全ての n-coloring を確認するしかないとか何とか。 ここではそういう難しい部分の話はせずに、1, 4, 13, 44, 160 という増え方が大体 3 倍を超えるぐらいというのを納得する議論をしてみたい。 よりはっきり言うと、1, 4, 13 と増える \(a_{n+1} = 3a_n + 1\) という数列が下限になることを示す。 一つ注意を述べると、n-coloring を考えるというより \(\{1,\ldots,k\}\) の和抜き（sum-free）集合による被覆を考えれば良い。被覆ができれば彩色を作れる（自由度を失うだけ）ので。 そういうわけで \(\{1\}\) の被覆を考え始めるわけだが、そちらも \(\{1\}\) で良い。 次に \(\{1, 2\}\) の被覆を考えるが \(1+1=2\) なので \(\{1,2\}\) は和抜きではない。よって \(\{1, 2\}\) の和抜き集合による被覆は \(...

家の壁にハチが巣を作っているのに気付いたのは7月5日のこと。 ドロバチ類の何かぐらいしか判らない。 この時点ではまだ穴があった。 2,3日すると穴が塞がれた。 というか上に増築されたかな。 今日27日に見たら、外に1匹成虫がとまっていた。 巣の左下に穴があるので多分無事に育ってここから出てきたのだろう。 種類としてはスズバチだと思う。 最初に巣を見たときの穴の位置とは全然別なので、この中に何匹かいるということなのか （調べたら内部は数個の部屋に分かれていて部屋ごとに1匹ずつ幼虫がいるものらしい）。 だとすると下から順に出てくるということかもしれない。 楽しみだ。

アーモンドは桃の仲間である。 学名についてウェブで検索すると3種類出てくる。 Prunus dulcis , Cerasus dulcis , Amygdalus dulcis の3つである。 Prunus はスモモ属ということで、直感的にはこれで良さそうに思う。 Cerasus は Wikipedia のアーモンドのページが採用しているが、サクラ属。 Amygdalus はモモ属(?)という一番小さく分類したものっぽい。花図鑑のページにあった。 Wikipedia に「サクラ属」というページがあり、そこにもう少し詳しい違いが載っている。 それによると、Prunus スモモ属（あるいは広義サクラ属）から Cerasus（狭義）サクラ属を分離するかどうかに流儀があり、サクラがメジャーな地域では分離させることが多いとか。 アーモンドとモモは Prunus の中でも Amygdalus モモ亜属に属するとされており、このページではアーモンドの学名は Prunus dulcis。 結論としてはアーモンドの学名は Prunus dulcis であって、Cerasus の採用は狭義サクラ属と広義サクラ属の取り違えであって端的に誤り、Amygdalus は亜属なので学名としては属名の Prunus を取るべき誤用。 ということになると思われる。