Aurifeuille 恒等式の計算方法 (Stevenhagen)

この Aurifeuille シリーズは2年ほどブランクがあって3回目。 前2回は Aurifeuillian 因数分解 と Aurifeuille 恒等式 について書いた。 今回は計算方法の一つを紹介する。

簡単にするためにあまり複雑な一般化は省いて、 平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $k$ に対し、$n$ を $k\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ ならば $k$、そうでなければ $2k$ とする。 このときある整数係数多項式 $F$ と $G$ により円分多項式 ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ を　$F(X{)}^2-kXG(X{)}^2$ という形(Aurifeuille 恒等式)に書ける。 この $F$ と $G$ を求める方法を見ていきたい。

$k=5$ の時のように整数 ${\mathrm{\Phi }}_n(k)$ の因数分解をして $k$ 進数展開から求めるのは、いろいろ問題がある。 整数の因数分解自体が難しいし、$k$ 以上の係数や負の係数が必要になると破綻してしまう。 一般的に使える方法は、もっと代数的な議論だ。

前に見たように　$k{\zeta }_n$ が　$\mathbb{Q}[{\zeta }_n]$　で平方数になっているというのがキーだった。 ここで紹介する Stevenhagen の方法は、$\sqrt{k{\zeta }_n}$ が $\mathbb{Q}[{\zeta }_n]$ に入っているならば、${\zeta }_n$ の多項式で表せるという事実に基づいている。

具体的な $\sqrt{k{\zeta }_n}$ を表す ${\zeta }_n$ の多項式が $$H(X)=\sum _{1\le a\le 2n\wedge (a,2n)=1\wedge (\frac{k}{a})=1}{X}^{(a+1)/2}$$ と与えられる。実際 $X$ に ${\zeta }_n$ を代入すると、 $1/2$ 乗は ${\zeta }_n$ を ${\zeta }_{2n}$ にし、 $+1$ の分の　${\zeta }_{2n}$ で括った残りは $\mathbb{Q}({\zeta }_{2}n)$ から $\mathbb{Q}(\sqrt{k})$ へのトレースになりそれは値として $\sqrt{k}$ だから結局 ${\zeta }_{2n}\sqrt{k}=\sqrt{k{\zeta }_n}$ となる。 この $H$ と ${\mathrm{\Phi }}_n$ にユークリッドの互除法を適用する。 余りの次数が段階的に下がっていくが、最初に $\varphi (n)/2$ 以下になった多項式を $f$ とし、次の段階の多項式を $f^{\ast }$ とする。 このとき、$f^{\ast }$ の定数項を $f$ の適当な有理数 $\alpha$ 倍で消したもの $f^{\ast }-\alpha f$ を $Xg$ とおくと、 $f$ を先頭項係数 $c$ で割ったものが $F$、逆にその $c$ を $g$ に掛けたものの符号を調整すると $kG$ となる。 という形で $F$ と $G$ が求められる。

最後の部分が不思議な感じなのでもう少し補足しておく。 補助的な多項式 ${\gamma }_i$ を ${\gamma }_0=1$, ${\gamma }_1=0$ から始めて、 $${\mathrm{\Phi }}_n=\left|\begin{array}{cc}1& H\\ 0& {\mathrm{\Phi }}_n\end{array}\right|=\pm \left|\begin{array}{cc}{\gamma }_i& f_i\\ {\gamma }_{i+1}& f_{i+1}\end{array}\right|$$ とユークリッドの互除法を行変形と見ていくと、行列式は符号を除いて一定である。 定数項を消す処理も行変形なので $${\mathrm{\Phi }}_n=\pm \left|\begin{array}{cc}\gamma & f\\ {\gamma }^{\ast }& f^{\ast }\end{array}\right|=\pm \left|\begin{array}{cc}\gamma & f\\ {\gamma }^{\prime }& Xg\end{array}\right|$$ が得られる。 一方 Aurifeuille 恒等式は $${\mathrm{\Phi }}_n=\left|\begin{array}{cc}cG& cF\\ c^{-1}F& c^{-1}XkG\end{array}\right|$$ と表現できる。 最後の二つの式の右辺の要素同士が(符号を除いて)等しいことが言える(詳しくは参考文献を)ので上のようなアルゴリズムとなる。

例として $k=7$ としてみよう。$n=14$ だ。 $1$ 以上 $28$ 以下かつ $28$ と互いに素かつヤコビ記号 $\left(\frac{7}{a}\right)$ が $1$ という条件を満たすのは $a\in \{1,3,9,19,25,27\}$ なので、 $$H_{14}(X)=X+X^2+X^5+X^{10}+X^{13}+X^{14}$$ だ。 この $f_0=H_{14}$ と円分多項式 $f_1={\mathrm{\Phi }}_{14}$ にユークリッドの互除法を適用する。 $$f_2(X)=f_0(X)mod{f}_1(X)=X^4-2X^3+2X^2+2$$ $$f_3(X)=f_1(X)mod{f}_2(X)=-X^3-3X^2-3X-1$$ $$f_4(X)=f_2(X)mod{f}_3(X)=14X^2+14X+7$$ ここで $f_3$ の次数が　$\varphi (14)/2=3$ 以下なので、$f=f_3$ 、$f^{\ast }=f_4$ とする。 $f^{\ast }$ の定数項 $7$ を $f$ で消すために $\alpha =-7$ とする。 $$f^{\ast }(X)-\alpha f(X)=-7X^3-7X^2-7X$$ これを $X$ で割って $$g(X)=-7X^2-7X-7$$ を得る。 $f$ の先頭係数は $-1$ なので、 $$F(X)=-f(X)=X^3+3X^2+3X+1$$ $$G(X)=-g(X)/7=X^2+X+1$$ よって $${\mathrm{\Phi }}_{14}(X)=(X^3+3X^2+3X+1{)}^2-7X(X^2+X+1{)}^2$$ を得る。

参考文献

P. Stevenhagen "On Aurifeullian factorizations Indagationes Mathematicae (Proceedings), Volume 90, Issue 4, 1987, Pages 451-468