Wilson の定理

Wilson の定理とは、素数 $p$ に対し $(p-1)!\equiv -1modp$ が成り立つという初等整数論の定理である。 これが重要な定理ということは特にないと思うのだが、大体の教科書に載っている。 証明にはフェルマーの小定理を使ったり原始根を使ったりすることが多い。 しかし、そんな道具立ては解り易くないと思うのだ。

少し一般的な次のことを証明する (Gauss の一般化と呼ばれているようだ): $n$ を $3$ 以上の整数とするとき、$\prod _{i\in \mathbb{Z}/n{\mathbb{Z}}^{\times }}i\equiv (-1{)}^{k}modn$ が成り立つ。 ただし、$k$ は $1$ の平方根の個数の半分。

(証明) $\mathbb{Z}/n{\mathbb{Z}}^{\times }$ は群なので、各元に逆元が存在する。 自分自身が逆元である元以外は、$a$ と $a^{-1}$ が別々に存在して $a\cdot a^{-1}\equiv 1modn$ だから積に寄与しない。 自分自身が逆元である元とは $a^2\equiv 1modn$ ということなので、$1$ の平方根である。 このような元 $a$ に対し、$-a$ も同様に $(-a{)}^2\equiv a^2\equiv 1modn$ を満たす。 $n$ は $3$ 以上と仮定したので、 $a$ と $-a$ は等しくない。 この二つの元の積を考えると、$a\cdot (-a)\equiv -a^2\equiv -1modn$ である。 $1$ の平方根を $2$ 個ずつ組にしたので、$k$ を $1$ の平方根の個数の半分として $\prod _{i\in \mathbb{Z}/n{\mathbb{Z}}^{\times }}i\equiv (-1{)}^{k}modn$ が成り立つ。 (証明終わり)

元の形の Wilson の定理は、奇素数 $p$ に関しては $n=p$ として上の命題を適用すれば $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が体だから $a^2\equiv 1modp$ の解は $\pm 1$ 以外にないことから従い、$p=2$ の場合は $1\equiv -1mod2$ なので成り立つことが判る。

さて残りは $1$ の平方根の個数を確定すれば話が完結するが、これは $\mathbb{Z}/n{\mathbb{Z}}^{\times }$ を巡回群の直積で書いたときの直積因子の個数を $m$ とおくと、$2^m$ となる。 したがって、素数以外には $n=4,p^e,2p^e$ の時だけ右辺が $-1$ になる。 ちなみにこの右辺の値の数列がA103131としてOEISに登録されている、といった情報がMathWorldに書いてあった。