オイラー関数の冪和

オイラー(totient)関数 $φ (n)$ は $1$ 以上 $n$ 以下の $n$ と互いに素な整数の個数を表す関数である。言い方を変えると $(Z / n Z)^{\times}$ の位数を表す関数である。 $n$ 次円分多項式の次数という捉え方もある。この関数が乗法的関数であることはよく知られている。すなわち $a$ と $b$ が互いに素なとき $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ を満たす。

さて一般に、二つの乗法的関数 $f$ , $g$ があったとき、次のように積の和をとったもの $f \cdot g (n) = \sum_{d | n} f (d) g (d)$ も乗法的関数である。よってたとえばオイラー関数の2乗和 $\sum_{d | n} φ (d)^{2}$ は乗法的関数である。

こういったオイラー関数の2乗和や、より高次のオイラー関数の冪和について何かよく使われる記号がないものか、と昔から知りたく思っている。ちなみに単なる因子の冪和については $σ_{k} (n)$ という記号がある。 $σ (n) = σ_{1} (n) = \sum_{d | n} d$ を一般化したものである。その考え方を踏襲すると $\sum_{d | n} φ (d) = n$ なので、 $n_{k} (n)$ になると考えるといいのかもしれない。

試しに OEIS を引くと、A029939 Sum phi(d)^2; d|n. は出てくるが、3乗の冪和である数列 1,2,9,10,65 が出てこない。そのぐらい需要がない。その需要のないものをどうして気にするか、ということはまた改めて書く。

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「函数」音訳説について探してみる

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