2013年8月12日月曜日

オイラー関数の冪和

オイラー(totient)関数 \(\varphi(n)\) は \(1\) 以上 \(n\) 以下の \(n\) と互いに素な整数の個数を表す関数である。 言い方を変えると \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) の位数を表す関数である。 \(n\) 次円分多項式の次数という捉え方もある。 この関数が乗法的関数であることはよく知られている。 すなわち \(a\) と \(b\) が互いに素なとき \(\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)\) を満たす。

さて一般に、二つの乗法的関数 \(f\), \(g\) があったとき、次のように積の和をとったもの \(f\cdot g (n) = \sum_{d|n}f(d)g(d)\) も乗法的関数である。 よってたとえばオイラー関数の2乗和 \(\sum_{d|n}\varphi(d)^2\) は乗法的関数である。

こういったオイラー関数の2乗和や、より高次のオイラー関数の冪和について何かよく使われる記号がないものか、と昔から知りたく思っている。 ちなみに単なる因子の冪和については \(\sigma_k(n)\) という記号がある。 \(\sigma(n) = \sigma_1(n) = \sum_{d|n}d\) を一般化したものである。 その考え方を踏襲すると \(\sum_{d|n}\varphi(d) = n\) なので、\(n_k(n)\) になると考えるといいのかもしれない。

試しに OEIS を引くと、A029939 Sum phi(d)^2; d|n. は出てくるが、3乗の冪和である数列 1,2,9,10,65 が出てこない。 そのぐらい需要がない。 その需要のないものをどうして気にするか、ということはまた改めて書く。