Midnight Floating Thought

前回 、概要を紹介した Aurifeuille 因数分解。 その最後に円分多項式が \(F(X)^2-kX^qG(X)^2\) という形に分解される、というところまで書いた。 今回は、そちらをメインに書いていこうと思う。 と、その前に、タイトルについて補足しておこう。 前回のタイトルが「Aurifeuillian 因数分解」だったのだが、慣習として人名の形容詞形は日本語の中では使わないことを思い出して — Hermitian operator はエルミート演算子、Cartesian coordinates はデカルト座標、のように — 今回は「Aurifeuille 恒等式」というタイトルにした。 最初に記号をまとめておく。 \(k\) を無平方な(素因数の二乗では割り切れない)正整数とする。 \(d\) を \(\mathbb{Q}(\sqrt{k})\) の判別式とする。 \(k \equiv 1 \pmod 4\) ならば \(d=k\)、そうでなければ \(d=4 k\) である。 \(n\) は奇数であって \(d\) で割り切れるか、偶数であって \(d\) では割り切れないが \(2\) 倍すれば \(d\) で割り切れる正整数とする。 つまり \(k \equiv 1 \pmod 4\) ならば \(k\) の奇数倍、そうでなければ \(2 k\) の奇数倍である。 \(q\) はほとんど使わないが、\(q = \prod_{p|n,p\neq 2}p^{v_p(n) - 1}\) とする。 \(n\) を無平方に限っておけば \(q=1\) である。 さて、いろいろ調べてみると、円分多項式に対する恒等式として似たようなものが2種類ある。 1つは主に Gauss の名に紐付けられる、 \[4\Phi_n(X) = A(X)^2-\epsilon k B(X)^2\] という形の恒等式、もう1つが主に Aurifeuille の名に紐付けられる \[\Phi_n(X)　= F(X)^2 - k X^q G(X)^2\] という形の恒等式である。 どちらも円分体とその部分体である2次体との関係を利用するのだが、やり方が少し異なる。 Gauss の方は、円分多項式の根を冪が平方剰余のものと平方非剰余のものに分ける。 \[\Phi(X) = \pr...

ちょっと特殊な因数分解の話。 知っている人にとっては何ら目新しい話ではないのだが、日本語の情報をほとんど見掛けないので書いてみる。 たとえば、こういうぱっと見には不思議な因数分解である: \[16385 = 2^{14}+1 = (2^7-2^4+1)(2^7+2^4+1) = 113 \times 145\] Aurifeuille ( 1 )という19世紀フランスの数学者が最初にこの手の因数分解に言及したとされることから名前がつけられているらしい。 ちなみにこうして分解されるときの小さい方の因子を L、大きい方を M と呼ぶ慣習がある。 因数分解できると言われてみれば確かに、\(2^7+1\) を2乗して、左辺と比べて過剰になった \(2\times 2^7 = 2^8\) を引くと、ちょうどうまく平方の差の形になって、和と差の積に分解できる。 また、簡単な一般化として、\(2^7\) の代わりに \(2^{2k-1}\) つまり \(2\) の奇数乗を使っても同じような因数分解が得られるのも見て取れるだろう。 さらに言えば、\(2 n^2\) を使っても、同じような因数分解が得られる( 3 )。 それを踏まえて振り返ってみると、左辺は実は \(X^2+1\) という多項式に \(2^7\) を代入していたのだ。 この多項式 \(X^2+1\) は4次円分多項式 \(\Phi_4(X)\) と呼ばれている。 円分多項式はこのブログ頻出だが一応おさらいしておく。 \(1\) の原始 \(d\) 乗根全てを根に持つ多項式を \(d\)次円分多項式といい \(\Phi_d\) と書く。 だからたとえば、上の4次円分多項式 \(\Phi_d(X)\) は \(1\) の原始4乗根すなわち虚数単位 \(i\) とその共役 \(-i\) が根である。 式で書けば \(1\) の原始 \(d\) 乗根の一つを \(\zeta_d\) として \[\Phi_d(X) = \prod (X - \zeta_d^k)\] である、ただし \(k\) は \(d\) 以下の \(d\) と互いに素な自然数を走る。 話を戻すと、Aurifeuillian 因数分解と呼ばれるものは、円分多項式に特別な数を代入したときに現れる因数分解なのである。 今後代入される数は \(a\)...

以前書いた Collatz "主要項" 予想。 何だったかというと、 \(\DeclareMathOperator{\ceil}{ceil}\) \[f(x) = x - (-1)^{\ceil(x)}\frac{x}{2}\] という関数を繰り返し適用すると、任意の正実数から出発してそのうち \(1\) 未満になる、 と個人的に予想したもの。 言いっぱなしも良くないので、プログラムを書いてみた、というのが前回までのお話。 せっかくプログラムを書いたので、計算させてみる。 前回も実際 \(200\) 以下については確かめたのであった。 その計算を細々と続けていたのだが、 10日ほど前に始めた区間 \((3752, 3753]\) の計算が収束しないのである。 もしかして、成立しないのだろうか。 だとすればどのように? 成り立つ前提でプログラムを書いたので、止まらない場合の解析は難しい。 とりあえずメモリー使用量はじわじわと上昇する感じなので、いきなり無限大に向かって発散して行ってしまっているわけではなさそう。

6月に書いた "Collatz" 主要項予想 の続き (クオーテーションが若干違うけど、気分的なもの)。 表計算ぐらいで何とかなると思って試してみたら意外と面倒だったので、プログラム ( mft/collatz_main_term ) を書いて計算してみた。 1 から 200 までは成り立っていた(最大700ステップぐらい)。

土左日記 という菓子を高知土産として会社に持ってきた人がいた。 そのパッケージに土佐日記の冒頭が書いてある。 男もすなる日記といふものを女もしてみむとてするなり、というあれ。 と思って字を追ってみたら、どうも違った。 おとこもすといふ日記という物をゝむなもして心みむとて…、みたいに書いてある。 そんな異本もあるのか、と思ってちょっとぐぐってみたら、定家本というのがそういう本文らしい。 定家本土佐日記 : 尊経閣叢刊. [本編] として国会図書館デジタルコレクションで見ることもできる。 一つ勉強になった。