以前、円分体って名前がそもそもどうなんだという記事を書いた。 雑にまとめると、円分体と呼ばれている体は有限巡回群の有理数を係数とする群環を考えれば良く、その有限巡回群の自己同型群による不変部分環が係数体に一致してしまうし、もう複素数とかそれに引きずられた名称とかいらないだろう、という話だった。 しかし群環という構造はちょっと特殊すぎて応用が利かないので枠組みを広げてみたい、というのが今回のもくろみとなる。
一番重要だったのは群が作用して不変部分環を考えられる部分だったので、有限集合とそこに作用する群があってそれをうまく環の世界に持ち込めれば良い。 そこで、多変数多項式環とその変数の入れ替えという作用を考える。 例としては、すぐに複雑になってしまうので3変数多項式環 \(K[X_1, X_2, X_3]\) と3次巡回群 \(C_3\) を取ろう。 係数は \(K\) と書いたが標数が \(0\) の体で、変数たちは \(K\) に入らないとする。 では不変部分環 \(A = K[X_1, X_2, X_3]^{C_3}\) がどうなるかをみよう。
不変式はいくつもある。 基本対称式 \[I_1 = X_1 + X_2 + X_3\] \[I_2 = X_1 X_2 + X_2 X_3 + X_3 X_1\] \[I_3 = X_1 X_2 X_3\] の他に、 \[I_4 = (X_1 - X_2)(X_2 - X_3)(X_3 - X_1)\] がある。 \(I_4\) は対称性を見易くするためにこの形で書いたが、差積 \((X_1 - X_2)(X_2 - X_3)(X_1 - X_3) = -I_4\) を選んでもいい。 さらに、 \[I_5 = X_1^2 X_2 + X_2^2 X_3 + X_3^2 X_1\] \[I_6 = X_1 X_2^2 + X_2 X_3^2 + X_3 X_1^2\] など、色々な形の式を取ることができる。
簡単に見て取れるように \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) から各 \(X_i\) は \(X^3 - I_1 X^2 + I_2 X - I_3 = 0\) の解である。 また \(I_4\) は2乗すると対称式になって \(I_1\) から \(I_3\) で書けるようになる(具体的な式は省略)。 同様にというかより簡単に \(I_5 + I_6\) が対称式なのでこれも \(I_1\) から \(I_3\) で書ける(\(I_5\), \(I_6\) それぞれは書けない)。 不変部分環は有限生成というのが Hilbert を有名にした(?)定理であり、ここでは生成系としては多分 \(I_1\) から \(I_4\) だけあればいいはず。
環ではなく体について語りたいのだが \(A\) が体になるかというと疑わしいので、以降 \(L\) を \(A\) の商体とする。
\(L[X_1]\) には \[X_2 + X_3 = I_1 - X_1\] と \[X_2 - X_3 = -I_4 / (X_1^2 - (I_1 - X_1) X_1 + I_3 / X_1)\] が含まれるので、これらの和や差によって \(X_2\) と \(X_3\) も含まれていることが判る。 つまりガロワ拡大で、各 \(X_i\) が \(X^3 - I_1 X^2 + I_2 X - I_3 = 0\) の解だったから、\(L[X_1]\) は \(L\) の3次巡回拡大体ということになる。
おまけで \(I_4\) が不変式に含まれていない場合を考えてみよう。 この場合は \(C_3\) ではなく \(S_3\) が作用していて、不変式は基本対称式で尽きるという状況になっている。 \(F\) を \(K[X_1, X_2, X_3]^{S_3}\) の商体としたとき、 \(F[X_1]\) には \(X_2\), \(X_3\) が含まれず、\(F[X_2]\), \(F[X_3]\) も同型ではあるが別の \(F\) の3次拡大になる。 ただし、たとえば \(X_1\), \(X_2\) の2元を含めば \(F[X_1, X_2]\) の中に \(X_3 = I_1 - X_1 -X_2\) はいるので、それ以上大きな体は出てこない。 また \(F[I_4]\) も異なる体だが、当然この \(F[X_1, X_2]\) の部分体になっており、\(F[I_4]\) から見れば、\(F[X_1, X_2]\) が3次巡回拡大体になる。
まとめ
複素数体の中にある方程式の解を添加するのではなく、多項式環に群を作用させて不変部分環(の商体)を取ることでガロワ理論的なことはだいたい語れるのではないか。 複素数はむしろ不変式を具体的な数に置き換える特殊化の結果として登場するのではないか。 といった見方は、聞いたことはないのだけれど、当然すぎて語られていないだけなのか。
ところで不変式論のお勧めの本はありますか。 考えてみたら、不変式論は暗黒通信団でしか入門していないので。