Midnight Floating Thought

Collatz 予想は、良く知られているように (C) 正整数に対し、偶数ならば2で割り、奇数ならば3倍して1を足す なる操作を繰り返すと、全ての正整数は1に到達する。というものである。この操作を (C2) 正整数を2進数として見て、1の位が0ならば1桁下位にシフトし、1の位が0でないならば1桁上位にシフトしたものを足して1の位を繰り上げて0にする と読み替える。これの3進数類似を考える。「1の位を繰り上げ」るのは丸め方の指示だと思うと、同様に全て繰り上げる方法の他に近い方に丸めるという方法もある。 (C3-ceilling) 正整数を3進数として見て、1の位が0ならば1桁下位にシフトし、1の位が0でないならば1桁上位にシフトしたものを足して1の位を繰り上げて0にする (C3-round) 正整数を3進数として見て、1の位が0ならば1桁下位にシフトし、1の位が0でないならば1桁上位にシフトしたものを足して1の位を丸めて一番近い3の倍数にする この二つの規則を考えてみよう。 C3-ceilling まずは計算しよう。 1→6→2→9→3→1 4→18→6... 5→21→7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21（ループ） 8→33→11→45→15→5... 12→4... 13→54→18... 16→66→22→90→30... 17→69→23→93→31→126→42... ... は既出の列に合流した、という意味。 1を含むループに落ち込むケースと7を含むループに落ち込むケースがあるようだ。 C3-round こちらも計算してみよう。 1→3→1 2→9→3... 4→15→5→21→7→27→9... 6→2... 8→33→11→45→15... 10→39→13→51→17→69→23→93→31→123→41→165→55→219→73→291→97→387→129→43→171→57→19→75→25→99→33... 12→4... 14→57... 16→63→21... 18→6... ここまで全て1...

読書メーターの記録 によるとマンガも入れて101冊。 久しぶりに年100冊に乗った。 前年からの勢いのままに菌類関係の本をいくつか読んだが深澤遊の「キノコとカビの生態学」「枯木ワンダーランド」は面白かった。 後半はファーブル昆虫記を読破した。岩波文庫の古い訳で読んだのが良かったのか良くなかったのか。 数学関係は、前半表現論の本を読んで表現とは加群のことであるという言葉で何だかすっきりした。 年の終わり近くはラングランズ予想というか楕円曲線と保型形式とガロワ表現とみたいな内容の本をいくつか。「ラングランズ予想」というそのものズバリなタイトルの本も出たのでその内読みたい。 マンガは、「ヴィンランド・サガ」も「アルテ」も「推しが武道館に行ってくれたら死ぬ」も完結して、読み続けるタイトルが少なくなってきた。

Youtube の Numberphile チャンネルで最近出た Schur Number の動画を見た、 そこでのシューア数の定義は OEIS の "version 1" の方 Smallest number such that for any n-coloring of the integers 1, ..., a(n) no color is sum-free, that is, some color contains a triple x + y = z. だったが、 "version 2" の Largest number such that there is an n-coloring of the integers 1, ..., a(n) such that each color is sum-free, that is, no color contains a triple x + y = z. の方が解り易いからこちらで話を進める。version 2 の方が 1 小さい値になるというだけの違いがある。 動画の内容は \(a(n) = 160\) になる証明が2ペタバイトのデータ量で凄い、みたいなこと。 結局、全ての n-coloring を確認するしかないとか何とか。 ここではそういう難しい部分の話はせずに、1, 4, 13, 44, 160 という増え方が大体 3 倍を超えるぐらいというのを納得する議論をしてみたい。 よりはっきり言うと、1, 4, 13 と増える \(a_{n+1} = 3a_n + 1\) という数列が下限になることを示す。 一つ注意を述べると、n-coloring を考えるというより \(\{1,\ldots,k\}\) の和抜き（sum-free）集合による被覆を考えれば良い。被覆ができれば彩色を作れる（自由度を失うだけ）ので。 そういうわけで \(\{1\}\) の被覆を考え始めるわけだが、そちらも \(\{1\}\) で良い。 次に \(\{1, 2\}\) の被覆を考えるが \(1+1=2\) なので \(\{1,2\}\) は和抜きではない。よって \(\{1, 2\}\) の和抜き集合による被覆は \(...

家の壁にハチが巣を作っているのに気付いたのは7月5日のこと。 ドロバチ類の何かぐらいしか判らない。 この時点ではまだ穴があった。 2,3日すると穴が塞がれた。 というか上に増築されたかな。 今日27日に見たら、外に1匹成虫がとまっていた。 巣の左下に穴があるので多分無事に育ってここから出てきたのだろう。 種類としてはスズバチだと思う。 最初に巣を見たときの穴の位置とは全然別なので、この中に何匹かいるということなのか （調べたら内部は数個の部屋に分かれていて部屋ごとに1匹ずつ幼虫がいるものらしい）。 だとすると下から順に出てくるということかもしれない。 楽しみだ。

アーモンドは桃の仲間である。 学名についてウェブで検索すると3種類出てくる。 Prunus dulcis , Cerasus dulcis , Amygdalus dulcis の3つである。 Prunus はスモモ属ということで、直感的にはこれで良さそうに思う。 Cerasus は Wikipedia のアーモンドのページが採用しているが、サクラ属。 Amygdalus はモモ属(?)という一番小さく分類したものっぽい。花図鑑のページにあった。 Wikipedia に「サクラ属」というページがあり、そこにもう少し詳しい違いが載っている。 それによると、Prunus スモモ属（あるいは広義サクラ属）から Cerasus（狭義）サクラ属を分離するかどうかに流儀があり、サクラがメジャーな地域では分離させることが多いとか。 アーモンドとモモは Prunus の中でも Amygdalus モモ亜属に属するとされており、このページではアーモンドの学名は Prunus dulcis。 結論としてはアーモンドの学名は Prunus dulcis であって、Cerasus の採用は狭義サクラ属と広義サクラ属の取り違えであって端的に誤り、Amygdalus は亜属なので学名としては属名の Prunus を取るべき誤用。 ということになると思われる。

東京のバスの行き先表示にある時期に一斉にマスコットの絵が付くようになった、ような気がしていた。 調べてみたら、登場時期には幅があったようだ。 都バス: みんくる 平成11年1月18日に都バスが75周年を迎えたことを記念して一般公募し、日本全国から集まった2,457点の中から選ばれました。 東急バス: ノッテちゃん 2011年、東急バス株式会社創立20周年を記念し、東急バス・東急トランセの従業員と、その家族たちの投票により制定したイメージキャラクター「ノッテちゃん」です。 小田急バス: きゅんた 2012年9月に誕生した、小田急バスのマスコットキャラクターです。 西東京バス: にしちゅん Q 誕生日は? A 2013年10月1日 神奈川中央交通: かなみん 2014年3月に誕生した、神奈中グループのマスコットキャラクターです。 関東バス: かんにゃん 平成26年夏に誕生した、関東バスのキャラクターです。 西武バス: エンジェ （いつ誕生したのか確認できず）

MacBook Air を買い替えた。 電池が膨張して形が歪んでおり今年の夏を越えられないだろうと思ったからだ。 2018年に MacBook Air から Mac mini にした 、と書いたがその後程なくまた MacBook Air を買い直したはずなので5-6年ぐらいは使っただろうか。 注文した後に新型の M4 の載った機種が出たとかで割引しますという連絡があったのだが、カード会社がこの支払いは不正使用ではないか、みたいなチェックを入れてきた（しかもカード会社が確認してきたのが AppleCare の代金だったのでぱっと見判らなかった）。 そうすると Apple の方からもお支払いに問題があります、と連絡が来る。 カード会社の方で私が買ったものだよという手続きをして、時間をおいて（これ重要）、Apple Store の支払い情報を更新する手続きをする。 初めてなので面食らった。 ついでに、というのも変だが、iPhone も SE を諦めて 16e にした。 老眼には優しいが、手は疲れる。

読書メーターの記録 によるとマンガも入れて92冊。去年よりは少し増えた。 1月に「 となりの地衣類 」から始まり、地衣類を撮りたくてカメラも買ったし、そういう意味では地衣類づくしの1年だった。 一番見ていたのは「 街なかの地衣類ハンドブック 」。図書館で「 原色日本地衣植物図鑑 」を何回も借り出し、「 日本の地衣類ー630種ー携帯版 」も結局買ってしまった。 地衣類についての本はそんなに多く出版されていないので、おそらく（「日本の地衣類」のシリーズを除けば）一通り手に取ったはず。 その流れで菌類に関する本も多く読んだ。菌根の本「 菌根の世界 」「 もっと菌根の世界 」が印象に残っている。 もう一方の藻類については「 藻類30億年の自然誌 」がかなり面白かった。 残りの何を取り上げようかと考えてみたが、それほど特筆すべきものは浮かばなかった。マンガは続きを読み続けている（「 無能の鷹 8 」で意外にも完結したり、数年ぶりに「 さよならミニスカート 3 」が出たりはあった）。数学は、本当に読みたいものへの準備みたいな本を読んでいる。 ※本の題名に付いているリンクはamazonのアフィリエイトです。

タイトルの読み方は知らない。 試しに Google で検索 してみてほしい。 どくとる梅津DIVAのアルバム DIVA の収録曲タイトルとして、タワーレコードだったり、国会図書館だったりが使っている。 私が最初に見たのは多分 last.fm だったと思う。 しかしこれはカタログのミスである。 現物の CD を持っているのだが、曲名は「誤算」である。 おそらくカタログの出どころは1箇所だろう。 どこかは知らない。 できれば訂正してもらいたい。

前回の続きで、DC-G100D から写真を Mac に持ってくる方法の話。 SD カードを読めばいいと思っていたのだが、 今まで使っていた Selore の USB ハブで SD が読めないことが判明したので新しく j5create 製のを買ってきたのだが、表示されるファイル数が少ない（一部しか読めない）。なにがどうなるとそういうことになるのだろう — MATSUI Fe2+ Tetsushi (@mf2t) June 9, 2024 ということで、他の方法が必要だった。 Wifi が使えるとは書いてあったので、設定を探す。 説明書には（かいつまむと）共有用のフォルダを作って共有用の設定をする、とあるのだが、それはつまりどういうことなのだ? しばらくネットをさまよって、 価格.com のクチコミ にたどり着いた。別の機種の10年前のものだけど、本質は同じはず。 フォルダの情報から共有フォルダにチェックを入れるのはさすがに解っていたが、システム設定の共有からも SMB 接続許可設定がいるし、wifi の詳細から WINS という項目に NetBIOS 名を設定する必要もあった。 これでいざ、と設定を始めたがパスワードが打てない。ユーザー名に空白があっちゃダメとは書いてあったが、パスワードも似たような制約があるらしい。 仕方なく共有用のアカウントを作成して、簡単なパスワードを設定して…今度は Mac 側のフォルダ設定でこのアカウント追加が終わらず、接続中という謎の状態のままになってしまったので渋々再起動を掛けて。 実際は多分共有の SMB 接続許可設定にあるこのユーザーのチェックが抜けていたのがいけなかった。 最後に、実際に共有すると、共有フォルダ内にできるファイルの所有権が共有用アカウントのものになってしまうので、 sudo chown とか通常の管理コマンドを駆使して自分の所有物にする。 二日がかりでようやく Mac で写真を見られる状態に持って行けた。 価格.com のクチコミがなかったらどうなっていたことか。

カメラを買った。 Lumix の DC-G100D、マクロ撮影したい、という目的で一番お手軽だった。 地衣類の写真を撮っては、何の種類だろうな、を繰り返すだけ。

地衣類を見始めて、樹皮に付く種類を見付けやすいのがケヤキ・サクラ辺りだと判ったのだが、同時に地衣類以外もいろいろ集まりやすい木のようだ。 そのいろいろを集めて見せてくれるページがないか探してみたが見当たらなかったので、試しにやってみようと思う。 蘚類はヒナノハイゴケ・コゴメゴケなどが多いらしい。上は多分ヒナノハイゴケで、下は不明。 藻類は「ケヤキの場合は Interfilum paradoxum が優占する群落が見られる。」と http://sourui.org/publications/phycology21/materials/file_list_21_pdf/25Airborne-algae.pdf に書いてあった。 それかどうかはともかく。 地衣類（レプラゴケ、ロウソクゴケ、コフキメダルチイ、ハクテンゴケ）。他のウメノキゴケ類、モジゴケ類、フタゴウオノメゴケやヒメスミイボゴケなども。 不明。これは結局何? 昆虫（ヨコヅナサシガメ）。夏場にはオオミズアオが飛んでくるしもちろん蝉も、蟻はよく見る。外来種のヒロヘリアオイラガの繭もよく付いている。

トロピカル幾何学で扱われる"トロピカル多項式"の話をしたい。 引用符を付けたのは、特別な多項式があるわけではなくただの実数係数多項式だ、と言いたいからだ。 もちろん、代入操作がトロピカル代数を使った評価になる。 以前（ 多項式環はモノイド環 ）、次のように書いた。 多項式環をモノイド環として見ると、「代入」によって冪乗や係数との積が取られることは全く自明ではなくなるが、説明付けることは可能だ。 いま可換環\(R\)と\(R\)代数\(S\)がある状況を考えよう。 \(R[\mathbb{N}^n]\)の元\(f\)に\(s\in S^n\)を代入するとは、 \(\mathbb{N}^n\) から \(s\) で \(S\) の積により生成されるモノイド \(\langle s \rangle\) への準同型で \(R[\mathbb{N}^n]\) を \(R[\langle s \rangle]\) に写した上で、 \(\langle s \rangle\) の元を \(S\) の元と考え、係数を \(R\) の作用と考え、形式和を \(S\) の和に読み替えて、全てを \(S\) の中で評価した結果を得ることを言う、ということになるだろう。 トロピカル代数にこれを当てはめてみたい。 と、その前にトロピカル代数を定義しておこう（一般論はよく知らないので、よく出てくる min-plus 代数というやつだけ考える）。 \(\mathbb{R}\) を実数体とし、\(\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}\) とする。 \(\overline{\mathbb{R}}\)に次のように演算を定義する。 積\(\otimes\)を\(\mathbb{R}\)の和（もちろん\(\infty\)に何を足しても\(\infty\)）とし、 和\(\oplus\)を\(\min\)とする。 積の単位元は\(0\)、和の単位元は\(\infty\)となる。 和が逆元を持たないので通常の意味で環ではないが、この点だけを除けば大体環みたいなので半環と呼ばれる。 \(\mathbb{R}\)の\(\overline{\mathbb{R}...

去年だったか100均でスマホにクリップで付ける簡単なマクロレンズを買っていた、のを思い出したので使ってみる。 コウロコダイダイゴケ Squamulea aff. subsoluta ツブダイダイゴケ Gyalolechia flavovirescens 不明種。前回「生え方が厚みがある気がする」とか言っていたが、拡大したら子器だらけで、上の二つとは別種ということでいいいと思う。 地衣体がほぼ無い種類として Athallia という属があるらしいので、その仲間だろうか、とか想像してみたり。 2024-03-10追記: 3枚目の写真だが、いろいろ観察してきた結果コウロコダイダイゴケだと判ってきた。 どういう環境だとこうなるのかまでは不明だが、コウロコダイダイゴケのコロニーを見ていると時々こうした子器だらけの領域が現れる。 この写真の場所もきっと端の方まで観察すれば普通のコウロコダイダイゴケっぽい領域に続いていると思う。

ここ数週間地衣類を見るのにはまっている。 きっかけは何となく読んでみた本からなのだが、今まで意識に上っていなかったそこらで目にするあれもこれも地衣類だということに気付いてしまったら、もう見逃すことができなくなってしまった。 種類をちゃんと知るためにはルーペで細かい部分まで見る必要があって、種を同定するというレベルだと特有の分泌物質を検出することが必要になるらしいのだが、そこまでは無理。ルーペは買うべきかも知れないが。 ざっくり見分けるレベルだったら、図鑑と見比べるぐらいで何とかなるだろうと、最新の安価な図鑑を買った。「街なかの地衣類ハンドブック」というやつだ。 最初のうちは、ダイダイゴケ、モジゴケ、ウメノキゴケのように目や科のレベルで認識するので手一杯だったが、そのうちよく見掛けるダイダイゴケの中にたまに雰囲気の違うような気がするものがあるような気がしてきた。 もう一度ハンドブックに戻ると、コウロコダイダイゴケとツブダイダイゴケが載っている。よく見るのはコウロコダイダイゴケの方だ。これは本当に住宅街には遍在していると言っても良いほどそこら中に生え散らかしている。 雰囲気の違う物がツブダイダイゴケの記述に当てはまるか、と言われると、それも違う気がする。 ということで他の資料を見たいのだが、そもそも日本語の地衣類図鑑は大昔のものを除くと、あとは（自費出版か何かの類いなのか）携帯版と称するもので5000円ぐらいするやつしかない（後に、図書館で実物を見たがフルカラーで値段的には妥当かもしれないがいきなりは手を出しにくい）。 ということでネットの大海に乗り出すために、ハンドブックで学名を確認する。 コウロコダイダイゴケ Squamulea aff. subsoluta 。ツブダイダイゴケ Gyalolechia flavovirescens 。 aff? 【aff. affinis】○○△△に類似の意味。特定の種または亜種に類似するが、重要な分類形質の一部が明らかに一致しないことから、未記載種の可能性の高い場合に、属名と種小名の間に挿入する用語。○○ sp. aff. △△というように用いる（○○は属名、△△は種小名） Ⅶ 用語解説 つまり学名が確定していない! こんなにそこら中にある普通種の学名が確定していない状...

Django の開発中の不満の一つが pipenv run の補完だ。 zsh は補完が凄いと聞いていたのに bash から移行してストレスが増えた。 bash はとりあえずファイルがそこにあればいつでも補完が効く。 pipenv run python と打った後にはカレントの manage.py が補完できる。 それに対して、zsh の補完はもっと inteligent で文脈を理解するのだが、何の指定もない文脈では何も補完できない。 本当に使えない。 まあお気づきかと思うが、zsh が使えないというより設定ファイルが酷い、という話、のはずだ。 調査 まずは状況を確認しよう。 Mac の homebrew で pipenv を入れていて、シェルは zsh。 .zshrc で補完の設定は最低限のものだけ。 autoload -Uz compinit && compinit zstyle ':completion:*' completer _complete _ignored _files .zshrc pipenv の補完設定は /usr/local/share/zsh/site-functions/_pipenv にあるが、これは /usr/local/Cellar/pipenv/2023.11.15/share/zsh/site-functions/_pipenv へのシンボリックリンクだ。 homebrew がこの設定ファイルをどこから持ってきているかというと、pipenv.rb の中で次の補助関数で生成している。 generate_completions_from_executable(libexec/"bin/pipenv", shells: [:fish, :zsh], shell_parameter_format: :click) pipenv.rb generate_completions_from_executable は、formula.rb に定義がある。 shell_param...

読書メーターの記録 によるとマンガを入れて78冊。 まあ去年と大差ない。 印象に残っているのは 「紋章学入門」「神田神保町書肆街考」という厚めのちくま学芸文庫、 「運動しても痩せないのはなぜか」 辺り。 数学では「グレブナー基底と代数多様体入門」は良い本だった。表現論の本には手を出して挫折、を繰り返していた感じ。 マンガでは継続して読んでいた「プリニウス」「重版出来」「ダンジョン飯」が完結したし、「フットボールネーション」や「アルテ」はそろそろ終わりそうな雰囲気になってきたので、この先は読む量がだんだん減りそう…いや「ぼっち・ざ・ろっく！」とか読み始めてしまったし、そんなことはないか。 YouTube きっかけは「冬虫夏草ハンドブック」があった。うごめ紀という生物系のチャンネルで紹介されていたもの。

今年の夏はクモに目が行くことが多かったような気がする。 きっかけは植木の間に巣を作ったクモの種類を調べたところからだった。 [写真1] 垂直円網に体長5ミリほどのクモが頭を上にしている。 一般的に蜘蛛の巣というと垂直円網を思い浮かべるが本当は案外少数派である、というようなことは去年クモの糸についての本を読んで知っていたので、それが手がかりになるはずということで図書館に行ってクモの図鑑「 原色日本クモ類図鑑 」を開く。垂直円網で調べるとコガネグモ科ということが判って、頭を上に向けて止まる種類はほとんど無く、ギンメッキゴミグモかギンナガゴミグモというところまでは絞れる。模様を図版と見比べて、ギンナガゴミグモかなあというのが最初の判断だったが、体型が長細くは感じず確信が持てなかったので、ほかの図鑑類も見てみることにした。 ギンナガゴミグモについて「 ネイチャーガイド日本のクモ 」曰く"本州中部以北の記録はほとんどクマダギンナガゴミグモと思われる"と新たな種の示唆が。 「 クモの巣ハンドブック 」を開くと、ギンナガゴミグモの巣には白い帯があることが判った。 巣の全体はこの写真には入っていないが、白い帯はなかったので、ギンメッキゴミグモの方らしい、という結論になった。 その後も時々見てみると、だんだん腹部全体が白っぽく光っているように見えてきたので、あるいは模様は成長と共に消えるようなものだったのかも知れない。 家の中で、近年はアダンソンハエトリ[写真2]しか見掛けない、と思っていたが、2種類ほどよく判らないクモにも遭遇した。大きさはアダンソンハエトリと大体同じ。 [写真3] 木目調の壁にいるから青っぽく見えているだけでただの灰色なのかも知れないが、ぱっと見青いクモがいると思った。 [写真4] こちらは床にいた。ハエトリグモの仲間かと思って「 ハエトリグモハンドブック 」を眺めてみたが、よく判らなかった。 [写真5] 近所の塀にいたクモは多分ネコハエトリのメス。ハンドブックには"草地の草本や低木の上に見られる"と書いてあったが。 他にも、空中に巣を張っている小さいクモを撮ろうとしたことがあったけど、iPhone がどうしても背景にピントを合わせてしまって上手くいかなかった。 ...

ときどき、街で見掛けた生き物（主に植物と昆虫）の写真を撮って、これは何かな、などとウェブで検索する。 判ったら SNS に投げたりして。 判らなかったら、図書館で図鑑をめくったりもする。 ところで、そんなに行動範囲が広いわけではないので、たとえば23区内の生き物に絞った図鑑があったら事足りることが多そうだ。 そんな中、最近、「せたがや動物ガイド」という世田谷区が出していたガイドブックを古本で手に入れた。 「世田谷自然観察シリーズII」とあるので、きっと I は「せたがや植物ガイド」なのだろう。 そして忘れていたが、昔杉並区が出しているもっと薄い「すぎなみの植物」「すぎなみの鳥」「すぎなみの昆虫・クモ」も買ったことがあった。 ひょっとして、どの区も似たようなものを出していたりするだろうか。 あるいは、もっと全国的に? ということで調べてみた。 ようするにウェブで検索してみた、ということだが、引っかけるには若干のコツがあるようだ。 最初は検索のキーワードが判らず「図鑑」とか「ガイドブック」とか入れていたものの、全然（杉並区も世田谷区も）出てこない。 役所的にはこれらの本はそうやって分類される物ではなく、数ある刊行物の1つということで「刊行物」と入れると俄然引っかかるようになった。 自治体 タイトル 値段 リンク 江戸川区 野の花　春・夏 210円 トップページ > 区政情報 > 広報・広聴 > 報告書・刊行物 > 刊行物 > 江戸川区の自然（1）から（4） 野の花　秋・冬 210円 樹のはなし 210円 昆虫の博物誌 210円 葛飾区 葛飾区生きものガイドブック 1000円 トップページ >くらし・手続き >環境 >自然環境・自然観察 >「生きものガイドブック」を販売しております 葛飾の昆虫・クモ 1200円 葛飾の水辺の生き物 1200円 北区 北区植物ガイドブック 670円 ホーム > 区政情報 > 広報・広聴 > 区政資料室 刊行物一覧 北区野鳥ガイドブック 660円 北区小動物・昆虫ガイドブック 710円 ...

概要: 前回 多項式の積を余代数から定義するということをしたが、その余代数の出所はどこだ、というような話。 自然数は加法モノイドであるだけでなく、順序集合である、ということが大事なのではないか。 局所有限な半順序集合(poset) \(P\) に対し、その区間(interval)を \([x, y]\) のように書く。 局所有限とは、\(x \leq y\) なる2元が何であっても \(x \leq z \leq y\) となる \(z\) は有限個しかない、という条件である。 体 \(K\) を固定して、\(P\) の区間を基底にした線型空間 \(I_P\) を考える。 \(I_P\) に余乗法(comultiplication) \(\Delta\) を \[\Delta ([x, y]) = \sum_{z \in [x, y]} [x, z]\otimes [z, y]\] で定義する。余単位 \(\epsilon\) は \([x, x]\) に対して \(1\)、それ以外で \(0\)となる関数とする。 これによって \(I_P\) は余代数となる。 この余代数に対して、双対空間を代数にするために、前回やった積の \(m_K \circ (f \otimes g) \circ \Delta\) という作り方を踏襲すると \[ (fg)([x, y]) = \sum_{z \in [x, y]}f([x, z]) g([z, y])\] という形で双対空間 \(I_P^*\) が代数になるが、これを \(P\) の隣接代数(incidence algebra)という。 ζ関数とかメビウス関数とかを定義して poset に関する議論をするために使うものだ。 そうそう、積の単位元はδ関数（1点からなる区間で 1、 それ以外で 0 となる関数)だ。 モノイドの構造と両立する順序構造を備えたものを順序モノイドという。 ねじれのない(torsion-free)消去的可換モノイドには全順序が入れられる。 多項式を考えるためには \(\mathbb{N}\) や \(\mathbb{N}^n\) などを考える。 後者に全順序が入るのも大事ではあるのだがいったん忘れて、\(\mathbb{N}...