多項式の掛け算の回りくどい定義

多項式の定義にはいくつか方法があるが、今回は「多項式は自然数から係数環への関数」というタイプの定義を扱う。

この前、Gilmer の Commutative Semigroup Rings を読み返していて、半群環の定義に差し掛かった。

R is an associative ring and that (S, *) is a semigroup. Let T be the set of functions f from S into R that are finitely nonzero, with addition and multiplication defined in T as follows. $$(f+g)(s)=f(s)+g(s)$$ $$(fg)(s)=\sum _{t\ast u=s}f(t)g(u)$$ where the symbol $\sum _{t\ast u=s}$ indicates that the sum is taken over all pairs (t, u) of elements of S such that t*u=s.

S を自然数の加法モノイドだと見れば多項式環の定義になる。

そこでふと思ったのは、この $\sum _{t\ast u=s}$ の辺りは余乗法(comultiplication)なのでは、ということである。 群環を Hopf 代数と考えるときの余乗法は $\mathrm{\Delta }(g)=g\otimes g$ というタイプのものなので、それとは異なる何かということになる。 S が基底になるような線型空間 V に、余乗法を $\mathrm{\Delta }(s)=\sum _{t\ast u=s}t\otimes u$ から定める。 余単位 $ϵ$ は S の単位元だけ 1 に写して、ほかは 0 になるクロネッカーのデルタを使う。 これで余結合律や余単位律が成り立って V が余代数になる。 （S が半群という仮定だと単位元の存在が保証されないから、モノイドでないと通らない。 また、余代数は線型空間に余乗法を入れたものなので、係数が体になってしまった。 ここは多分言葉の問題で、環を係数にしても話は同じに進行すると思う。）

今度はこれを多項式の乗法の定義に戻していきたいのだが、いったん整理しよう。 $\mathbb{N}$ を自然数の加法モノイドとして、$K$ を体とする。 $K$ 上 $\mathbb{N}$ を基底とする線形空間を $V$ とする。 余乗法 $\mathrm{\Delta }$ を $s\in \mathbb{N}$ に対し $\mathrm{\Delta }(s)=\sum _{t+u=s}t\otimes u$ とし、あとは線型に延長する。 余単位 $ϵ={\delta }_{0,s}$ も同様。 これで $V$ は余代数になった。 $T$ を $V$ から $K$ への線型写像の集合とする。 つまり、$V$ の双対空間を考える。 $T$ に乗法を次のように定める。 $$fg=m_K\circ (f\otimes g)\circ \mathrm{\Delta }$$ ただし $m_K:K\otimes K\to K$ は $K$ の積。つまり $$(fg)(s)=m_K\circ (f\otimes g)(\sum _{t+u=s}t\otimes u)=m_K(\sum _{t+u=s}f(t)\otimes g(u))=\sum _{t+u=s}f(t)g(u)$$ これが結合律を満たすのは $\mathrm{\Delta }$ の余結合律から示せるはず。 これでできあがったようだが、$T$ は冪級数環になってしまうので、有限の台をもつ関数だけの部分環を考えて、ようやく多項式の乗法が定義できたことになる。

まとめ: 多項式の掛け算を、余代数の余乗法から双対空間の乗法を定義する一般論(?)に乗せることができた。