情報が物理的……つまり数学は形式主義

今回はだいぶ大風呂敷です。 そして雑です。 まずは世界から語り始めます。

世界は存在します。 と仮定しないと話が進まないので仮定します。 しかしながら、人間は(あるいはおよそ全ての生物や機械は)それをあるがままに受け取ることはできずに、常に観測によって観測値を受け取ることしかできません。 観測値は、離散的です。 言い替えると、何らかのビット列で表現される情報です。 思い切った言い方をすれば自然数です。 そして、この過程は世界の内に起こる現象なので、情報も世界と独立にあるのではなく、必ず世界の内に表現されます。 情報は物理的である(by Landauer)、ということです。 情報とは離散的に変化しうる対象の一時的な永続状態で、書き換えられる(別の状態に移行する)までは何度でも同じ状態を観測できるもの、と考えていいでしょう。 (情報についてこういう説明をしているのを見たことはないのですが、多分こんなところだと思います。)

自然数のみで表現される世界を情報世界と呼びましょう。 人間の思考もここに全て含まれます。 少なくとも言葉(や記号)を使った思考はここに含まれ、他人と共有できる思考は全て含まれるのは明らかでしょう。 およそ学問は情報世界にあります。

物理学は、世界に対峙して、観測値の間の整合的な関係を追求しています。 量子力学に至るまでは、世界と観測値はほぼ同じものに見えていましたが、観測が世界の状態を不可逆に変えてしまうということが知られた以上、世界は世界、観測値は観測値と考えざるを得なくなりました。 その上で、観測値はデタラメではなくある種の確率論にしたがって得られる、というのが量子力学の新しい観点なのでした。

数学は(ひとまず世界に関係なく)情報の間の整合的な関係を追求しています。 数学が物理学の役に立つのは仕組上必然的であって、驚くようなことではないのです。 (「整合的」とは何か、ということを考えると根本的には物理的な基盤を共有しているから、というべきかも知れません。話が膨らみすぎるので省略します。)

さて、数学の基礎は情報にあります。 数学者の言い方でいえば記号と論理です。 記号は、それ自体以外に、指し示す対象を持つと考えるのが自然に思えますが、「対象」が世界を踏み越える場合があります。 たとえば自然数。 世界の内に表現され得る自然数は宇宙も所詮有限なので有限ですが、その限界を明示することも困難なので、任意の自然数 $n$ に対して後者 $n+1$ が存在する、という論理構造だけを制約として、無限に存在すると想定します。 このような自然数が素朴に「存在する」と考えると、プラトニズムというお花畑に足を踏み入れるしかなくなります。 逆に「存在する」を世界の内に表現される場合に限ると生真面目に捉えると、普通の意味での数学とは相容れない立場となってしまいます。

そこで、「自然数の全体」 $\mathbb{N}$ とその元に関する数学的帰納法という公理を認めて、記号の間の関係だけ論じる、という立場が現れます。 これは記号だけの話なので情報世界の内で完結します。 「自然数の全体」を素朴な意味で受け取るのではなく、あらかじめ定められた公理を満たす記号として割り切るのです。 要するに「自然数」「無限」「集合」などの意味を担っているように見える言葉の直観的意味は実際に何を指し示すものなのですか、と問われたときに、それもまた記号をもって論じられる以上、最終的に記号同士の関係以外のものはあり得ないではないかと思い至ります。 こうして、数学は形式主義に到達するのです。

• 幾何学は点・直線・平面の代わりにビールジョッキ・椅子・机を使ってもできる
• 存在するとは矛盾しないことだ

こうした Hilbert の言葉を初めて理解した気がしました。