多項式の次数

概要: 多項式の次数はただの自然数ではないという話。

自然数は和による可換モノイドであるだけでなく、全順序の構造も持つ。 一般に、半順序の構造を持つ半群を順序半群という。 そこでは不等式(順序関係)の両辺で同じ元との半群演算を行っても順序構造が変わらない、という条件を置く。 自然数はその意味で順序半群の一種である。

多項式の次数は、自然数みたいなものである。 次数 $n$ の多項式と次数 $m$ の多項式を掛けるとき、次数は $n+m$ と足し算になる。 面倒なのが $0$ の扱いで、雑に扱うときは多項式 $0$ の「次数は考えない」などと言ってごまかす。 ごまかさないとすれば、$0$ は多項式の積における零元なので、次数にも零元が必要になる。 しかし、自然数には零元が存在しない(和を考えているので $0$ は単位元であって零元ではない)。

半群に零元を添加するのはいつでも可能である。 自然数にも零元を添加しよう。 仮に $◊$ で表すことにする。 満たすべき演算規則は次の通り。 $$n+◊=◊+n=◊$$ この $◊$ を導入した自然数を $N_{◊}$ と表すことにする。

いま、考えていた自然数の構造は順序半群(実際は全順序モノイド)だったので、半群としての零元の導入が順序についても矛盾なく行われなければ、あまり意味がない。 自然数の順序構造は全順序だったので、$◊$ の入る余地は3通り考えられる。 最小元、最大元、中間の元である。 が、中間の元にはできないことを先に確認しよう。 $◊$ が $a$ と $a+1$ の中間に埋まると仮定しよう。 すなわち、 $$a⪇◊,◊⪇a+1$$ ところが、左の式の両辺に $1$ を足すと $$a+1⪇◊$$ となり、右の式と矛盾する。 したがって、$◊$ は自然数の間に入ることはない。

次に、最小元の場合を考えると、任意の自然数 $n$ について $$◊\le n$$ が成り立ち、両辺に何を足しても、$◊$ は $◊$ であり、右辺は自然数だから、特に矛盾は生じない。 同様に、最大元の場合にも矛盾なく導入することができる。 以降、最小元として零元を入れた場合 $◊$ の代わりに $\mathrm{\perp }$ を使って $N_{\mathrm{\perp }}$ と表記する。 最大元として入れた場合も同様に $N_{\mathrm{\top }}$ と書くことにする。

もう一度多項式の次数に話を戻そう。 多項式 $0$ の次数は、半群として零元でなけらばならなかったが、順序の上ではどうだろう。 これは主に割り算(擬除算)の都合という事になるのだが、$f$ を $g$ で割ったとき、商 $q$ は何でもいいのだが、余り $r$ は「次数が $g$ の次数よりも小さい」と、たとえ $g$ が $f$ を割り切って $r=0$ となる場合にも、言えた方が良い。 このことから順序半群としては $N_{\mathrm{\perp }}$ を使うのが妥当である。

多項式 0 の次数を -∞ とするのはなぜか。∞ ではいけないのか

— MATSUI Fe2+ Tetsushi (@mf2t) April 17, 2022

twitter にこんなことを書いた時点では、零元という条件だけを考えていたが、順序も矛盾なく扱うためにはやはり -∞ でなければならないという結論になる($\mathrm{\perp }$ をふつうは $-\mathrm{\infty }$ で表す)。

多変数多項式に拡張する場合にも次数は $N_{\mathrm{\perp }}^k$ という順序半群で扱うべき($N^k$ に $\mathrm{\perp }$ を添加したもの。$N_{\mathrm{\perp }}$ の直積ではない)。