素数が無限に存在するという定理の証明に、次のようなものがある。
整数全体の集合において、その部分集合で等差数列 (\(-\infty\) から \(\infty\)まで) をなすもの全体を考える。 2つの等差数列の交わりは空集合であるかまたは等差数列であるから、これを基底として整数全体に位相が導入でき、それを \(S\) とする。 実は、この位相のもとで \(S\) は正規であり、第2可算公理を満たすから距離付け可能なことが示される。 各等差数列はその補集合が(同じ差をもつ)他の等差数列の和集合であるから、開集合であると同時に閉集合である。 ここで集合 \(A=\cup_p A_p\) (\(A_p\) は \(p\) の全ての倍数からなり、\(p\) は2以上のすべての素数を動くものとする) を考える。 空でない開集合は等差数列の和であるから無限集合である。 \(A\) に属さない数は \(-1\) と \(1\) だけであり、集合 \(\{-1, 1\}\) は明らかに開集合でないから \(A\) は閉集合になることはできない。 よって \(A\) は有限個の等差数列 \(A_p\) の和集合となることはなく、これは素数が無限に多く存在することを証明している。
上の引用は Ribenboim「素数の世界」共立出版 からとった。 元々は Fürstenberg, On the infinitude of primes. Amer. Math. Manthly, 62, 1955 によるものである。
証明の肝は 1. 等差数列は開集合かつ閉集合、 2. 単数は有限個、 という部分である。 この議論を一般化すると、もう少し一般的な環でも「素イデアル」が無限に存在することが示せる。 まあ、そんなことを証明したいことがあるのか知らないが。
命題: 整域 \(R\) は次の3条件を満たすとする。 0. \(R\) は無限集合、 1. 任意の極大イデアルの剰余類は有限個、 2. 単数は有限個。 このとき \(R\) には無限個の極大イデアルが存在する。
証明: \(R\) における全ての極大イデアルとその剰余類から生成される位相を考える。 このとき空集合以外の開集合は無限集合である。 単数全体の集合 \(R^{\times}\) は有限集合だから開集合ではないことがわかる。 極大イデアルは、自身を除く剰余類の有限和集合の補集合であるから閉集合である。 単数以外の元はいずれかの極大イデアルに属するので、\(R \setminus R^{\times}\) は極大イデアルの和集合である。 各極大イデアル自体は閉集合だが、この和集合は補集合が開集合にならないので閉集合でない。 したがって、極大イデアルが無限に存在しなければならない。
たとえば虚2次体の整数環では単数が有限個なのでこの証明が通用する。 というか \(\mathbb{Z}[i]\) のイデアルについて考えているときに上に引用した証明を思い出して、 \(\mathbb{Z}[i]\) でもいけるなあと思っただけの話だったのだ。