階乗の集合の等しい積への分割 (はできない)

$\{1,2,\dots ,n\}$ を二つの部分集合に分割したとき、その積が一致することはない。 では $\{1!,2!,\dots ,n!\}$ にも同様に積が一致するような分割はないと証明できるか、というのがツイッターで流れてきたので考えてみた。

まず $[n]=\{1,2,\dots ,n\}$ の場合を振り返っておこう。 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 $n!$ は平方数である。 $n=2,3$ の場合はこれが無理なことは明らかなので、$n>3$ とする。 ところで $n/2$ と $n$ の間に素数が一つ以上存在する(いわゆるベルトランの仮説)のでその一つを $p$ とおく。 $p$ の倍数は $[n]$ の中で $p$ 自身のみだから、積 $n!$ は $p$ でちょうど1回しか割り切れないので平方数ではない。 したがって積が一致するような分割は存在しない。

次に $[n]!=\{1!,2!,\dots ,n!\}$ の場合を考える。 ($[n]!$ という記号はここだけの記号である。) 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 $\prod _{k=1}^{n}k!$ は平方数であるというところまでは同じである。 多分平方数にならないとは思うが、それを一気に考えるのは難しい。

簡単なところから考えると、$[2]!=\{1!,2!\}=\{1,2\}=[2]$ であるから明らかに分割できない。 $[3]!=\{1!,2!,3!\}$ の場合、$3$ で割り切れる回数はそれぞれ 0, 0, 1 回だから、全体の積は 1 回しか $3$ で割り切れず平方数でない。

少し一般化する。 $p$ を素数とすると $[p]!$ 全体の積は $p$ で 1 回しか割り切れないので平方数でない。 よって、$[p]!$ は積が一致するような分割を持たない。

同じように割り切る回数を数えることで次のことも判る。 奇素数 $p$ に対し、$[2p]!$ は積が一致するような分割を持たない。 実際、数えてみれば全体の積は $p$ で $p+2$ 回割り切れるが $p+2$ は奇数である。

と、ここまではすぐに考えたが、実際は別の方向に考えた方が良かったのである。

全体の積 ${\mathrm{\Pi }}_n=\prod _{k=1}^{n}k!$ をもう少し別の角度から眺めよう。 イメージとしては、$k!$ という列を並べた三角形を、$k$ の冪という行に分ける。

$${\mathrm{\Pi }}_n=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^n{k}^{n-k+1}$$

$n$ が奇数の時、${\mathrm{\Pi }}_n$ から偶数 $k$ について $k^{n-k+1}$ と奇数 $k^{\prime }$ について $k^{\prime n-k}$ が平方因子として取り除けて、 ${\mathrm{\Pi }}_n$ の代わりに残った奇数の積 $n!!$ が平方数かどうかを考えれば良い。 これは再びベルトランの仮説の出番で、$n>4$ とすると $n/2$ と $n$ の間に奇素数が一つ以上存在し、 これを $p$ とおくと $n!!$ は $p$ でちょうど1回しか割り切れないので平方数でない。 したがって積が一致するような $[n]!$ の分割は存在しない。

$n$ が偶数の時も同様の議論で、$n!!$ が平方数かどうかの議論をすれば良く、 三度ベルトランの仮説から(偶数の二重階乗なので各数を半分にして) $n/4$ と $n/2$ の間に奇素数が存在することが言えて平方数でないと示せる。 結局積が一致するような $[n]!$ の分割は存在しないことがわかる。

まとめると、$2$ 以上の任意の整数 $n$ に対し $[n]!$ は積が一致するような二つの部分集合への分割を持たない。