abc予想と昔考えたこと

その昔、円分多項式に整数を代入したとき素冪が出てくることがあるのか、というようなことを考えたことがある。 その時は、円分多項式 ${\mathrm{\Phi }}_m(X)$ に対し素数 $p$ と原始 $m$ 乗根 $x$ を固定して、 $x$ から始まる $p$ 進 $m$ 乗根の展開に $0$ が沢山続くと…。 詳細は忘れたが、まあ不都合が発生するということになっていたはずである。 というようなわけで、$p$ 進展開を計算させてみた記憶がある。

最近 ABC予想入門 という新書を読んだので、それをこの素冪の問題に応用してみようと思う。

abc予想:
任意の $ϵ>0$ に対して, ある正の定数 $K(ϵ)\ge 1$ が存在して, 次を満たす:
$a$, $b$, $c$ が互いに素な整数で $a+b=c$ を満たすならば, 不等式 $$max\{|a|,|b|,|c|\}<K(ϵ)\{\text{rad}(abc){\}}^{1+ϵ}$$ が成立する.

$p$, $q$ を素数として、${\mathrm{\Phi }}_q(x)=p^n$ だったとする。 式を書き直すと $x^q-1=(x-1)p^n$ となるので、$a=x^q$, $b=-1$, $c=(x-1)p^n$ として、 予想の前提を満たす。 よって、予想を仮定すれば $$max\{x^q,1,(x-1)p^n\}<K(ϵ)\{\text{rad}(x^q\cdot 1\cdot (x-1)p^n){\}}^{1+ϵ}$$ となるが、左辺は $x^q$、右辺は $K(ϵ)(x(x-1)p{)}^{1+ϵ}$ である。 すなわち $$x^q<K(ϵ)(x(x-1)p{)}^{1+ϵ}$$ で、右辺の $x-1$ を $x$ に置き換えて $$x^{q-2-2ϵ}<K(ϵ)p^{1+ϵ}$$ を得る。

一方左辺をより小さくして $(x-1)p^n$ として評価すると、 $$p^{n-1-ϵ}<K(ϵ)x^{1+ϵ}(x-1{)}^{ϵ}$$ なので、$x-1$ は $x$ で置き換えて $$p^{n-1-ϵ}<K(ϵ)x^{1+2ϵ}$$ となる。

今 $ϵ=1/4$、$K=K(1/4)$ とすると、 $$x^{q-5/2}<K{p}^{5/4}$$ $$p^{n-5/4}<K{x}^{3/2}$$ なので $n\ge 2$ のとき $$x^{q-5/2}<K{p}^{5/4}<K{p}^{2n-5/2}<K^3{x}^3.$$ この式は $q>11/2$ ならば $x$ が十分大きいときに成り立たなくなる。

つまり、abc 予想が成り立てば、各素数 $q\ge 7$ に対し ${\mathrm{\Phi }}_q(x)$ が2次以上の素冪になるような $x$ は有限個しかない。 またその上限は $q$ と abc 予想の定数 $K(1/4)$ で決まる。

実に強力な予想である。