Midnight Floating Thought

多項式の定義にはいくつか方法があるが、今回は「多項式は自然数から係数環への関数」というタイプの定義を扱う。 この前、Gilmer の Commutative Semigroup Rings を読み返していて、半群環の定義に差し掛かった。 R is an associative ring and that (S, *) is a semigroup. Let T be the set of functions f from S into R that are finitely nonzero, with addition and multiplication defined in T as follows. $$(f+g)(s)=f(s)+g(s)$$ $$(fg)(s)=\sum _{t\ast u=s}f(t)g(u)$$ where the symbol $\sum _{t\ast u=s}$ indicates that the sum is taken over all pairs (t, u) of elements of S such that t*u=s. S を自然数の加法モノイドだと見れば多項式環の定義になる。 そこでふと思ったのは、この $\sum _{t\ast u=s}$ の辺りは余乗法(comultiplication)なのでは、ということである。 群環を Hopf 代数と考えるときの余乗法は $\mathrm{\Delta }(g)=g\otimes g$ というタイプのものなので、それとは異なる何かということになる。 S が基底になるような線型空間 V に、余乗法を $\mathrm{\Delta }(s)=\sum _{t\ast u=s}t\otimes u$ から定める。 余単位 $ϵ$ は S の単位元だけ 1 に写して、ほかは 0 になるクロネッカーのデルタを使う。 これで余結合律や余単位律が成り立って V が余代数になる。 （S が半群という仮定だと単位元の存在が保証されないから、モノイドでないと通らない。 また、余代数は線型空間に余乗法を入れたものなので、係数が体になってしまった。 ここは多分言葉の問題で、環を係数にしても話は同じに進行すると思う。） 今度はこれを多項式の乗法の...