Midnight Floating Thought

以前、 円分体って名前がそもそもどうなんだ という記事を書いた。 雑にまとめると、円分体と呼ばれている体は有限巡回群の有理数を係数とする群環を考えれば良く、その有限巡回群の自己同型群による不変部分環が係数体に一致してしまうし、もう複素数とかそれに引きずられた名称とかいらないだろう、という話だった。 しかし群環という構造はちょっと特殊すぎて応用が利かないので枠組みを広げてみたい、というのが今回のもくろみとなる。 一番重要だったのは群が作用して不変部分環を考えられる部分だったので、有限集合とそこに作用する群があってそれをうまく環の世界に持ち込めれば良い。 そこで、多変数多項式環とその変数の入れ替えという作用を考える。 例としては、すぐに複雑になってしまうので3変数多項式環 $K[X_1,X_2,X_3]$ と3次巡回群 $C_3$ を取ろう。 係数は $K$ と書いたが標数が $0$ の体で、変数たちは $K$ に入らないとする。 では不変部分環 $A=K[X_1,X_2,X_3{]}^{C_3}$ がどうなるかをみよう。 不変式はいくつもある。 基本対称式 $$I_1=X_1+X_2+X_3$$ $$I_2=X_1{X}_2+X_2{X}_3+X_3{X}_1$$ $$I_3=X_1{X}_2{X}_3$$ の他に、 $$I_4=(X_1-X_2)(X_2-X_3)(X_3-X_1)$$ がある。 $I_4$ は対称性を見易くするためにこの形で書いたが、差積 $(X_1-X_2)(X_2-X_3)(X_1-X_3)=-I_4$ を選んでもいい。 さらに、 $$I_5=X_1^2{X}_2+X_2^2{X}_3+X_3^2{X}_1$$ $$I_6=X_1{X}_2^2+X_2{X}_3^2+X_3{X}_1^2$$ など、色々な形の式を取ることができる。 簡単に見て取れるように $I_1$, $I_2$, $I_3$ から各 $X_i$ は $X^3-I_1{X}^2+I_{2}X-I_3=0$ の解である。 また $I_4$ は2乗すると対称式になって $I_1$ から $I_3$ で書けるようになる(具体的な式は...