Midnight Floating Thought

ちょっと特殊な因数分解の話。 知っている人にとっては何ら目新しい話ではないのだが、日本語の情報をほとんど見掛けないので書いてみる。 たとえば、こういうぱっと見には不思議な因数分解である: $$16385=2^{14}+1=(2^7-2^4+1)(2^7+2^4+1)=113\times 145$$ Aurifeuille ( 1 )という19世紀フランスの数学者が最初にこの手の因数分解に言及したとされることから名前がつけられているらしい。 ちなみにこうして分解されるときの小さい方の因子を L、大きい方を M と呼ぶ慣習がある。 因数分解できると言われてみれば確かに、$2^7+1$ を2乗して、左辺と比べて過剰になった $2\times 2^7=2^8$ を引くと、ちょうどうまく平方の差の形になって、和と差の積に分解できる。 また、簡単な一般化として、$2^7$ の代わりに $2^{2k-1}$ つまり $2$ の奇数乗を使っても同じような因数分解が得られるのも見て取れるだろう。 さらに言えば、$2n^2$ を使っても、同じような因数分解が得られる( 3 )。 それを踏まえて振り返ってみると、左辺は実は $X^2+1$ という多項式に $2^7$ を代入していたのだ。 この多項式 $X^2+1$ は4次円分多項式 ${\mathrm{\Phi }}_4(X)$ と呼ばれている。 円分多項式はこのブログ頻出だが一応おさらいしておく。 $1$ の原始 $d$ 乗根全てを根に持つ多項式を $d$次円分多項式といい ${\mathrm{\Phi }}_d$ と書く。 だからたとえば、上の4次円分多項式 ${\mathrm{\Phi }}_d(X)$ は $1$ の原始4乗根すなわち虚数単位 $i$ とその共役 $-i$ が根である。 式で書けば $1$ の原始 $d$ 乗根の一つを ${\zeta }_d$ として $${\mathrm{\Phi }}_d(X)=\prod (X-{\zeta }_d^k)$$ である、ただし $k$ は $d$ 以下の $d$ と互いに素な自然数を走る。 話を戻すと、Aurifeuillian 因数分解と呼ばれるものは、円分多項式に特別な数を代入したときに現れる因数分解なのである。 今後代入される数は $a$...