\(\{1, 2, \ldots, n\}\) を二つの部分集合に分割したとき、その積が一致することはない。 では \(\{1!, 2!, \ldots, n!\}\) にも同様に積が一致するような分割はないと証明できるか、というのがツイッターで流れてきたので考えてみた。 まず \([n] = \{1, 2, \ldots, n\}\) の場合を振り返っておこう。 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 \(n!\) は平方数である。 \(n=2,3\) の場合はこれが無理なことは明らかなので、\(n > 3\) とする。 ところで \(n/2\) と \(n\) の間に素数が一つ以上存在する(いわゆるベルトランの仮説)のでその一つを \(p\) とおく。 \(p\) の倍数は \([n]\) の中で \(p\) 自身のみだから、積 \(n!\) は \(p\) でちょうど1回しか割り切れないので平方数ではない。 したがって積が一致するような分割は存在しない。 次に \([n]! = \{1!, 2!, \ldots, n!\}\) の場合を考える。 (\([n]!\) という記号はここだけの記号である。) 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 \(\prod_{k=1}^{n}k!\) は平方数であるというところまでは同じである。 多分平方数にならないとは思うが、それを一気に考えるのは難しい。 簡単なところから考えると、\([2]! = \{1!, 2!\} = \{1, 2\} = [2]\) であるから明らかに分割できない。 \([3]! = \{1!, 2!, 3!\}\) の場合、\(3\) で割り切れる回数はそれぞれ 0, 0, 1 回だから、全体の積は 1 回しか \(3\) で割り切れず平方数でない。 少し一般化する。 \(p\) を素数とすると \([p]!\) 全体の積は \(p\) で 1 回しか割り切れないので平方数でない。 よって、\([p]!\) は積が一致するような分割を持たない。 同じように割り切る回数を数えることで次のことも判る。 奇素数 \(p\) に対し、\([2p]!\) は積が一致するような分割を持たない。 実際、数えてみれば全体の積は \(p\) で \(p+2\) 回割り切...