を二つの部分集合に分割したとき、その積が一致することはない。 では にも同様に積が一致するような分割はないと証明できるか、というのがツイッターで流れてきたので考えてみた。 まず の場合を振り返っておこう。 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 は平方数である。 の場合はこれが無理なことは明らかなので、 とする。 ところで と の間に素数が一つ以上存在する(いわゆるベルトランの仮説)のでその一つを とおく。 の倍数は の中で 自身のみだから、積 は でちょうど1回しか割り切れないので平方数ではない。 したがって積が一致するような分割は存在しない。 次に の場合を考える。 ( という記号はここだけの記号である。) 二つの部分集合に分割して積が一致するならば、全体の積 は平方数であるというところまでは同じである。 多分平方数にならないとは思うが、それを一気に考えるのは難しい。 簡単なところから考えると、 であるから明らかに分割できない。 の場合、 で割り切れる回数はそれぞれ 0, 0, 1 回だから、全体の積は 1 回しか で割り切れず平方数でない。 少し一般化する。 を素数とすると 全体の積は で 1 回しか割り切れないので平方数でない。 よって、 は積が一致するような分割を持たない。 同じように割り切る回数を数えることで次のことも判る。 奇素数 に対し、 は積が一致するような分割を持たない。 実際、数えてみれば全体の積は で 回割り切...