Midnight Floating Thought

その昔、円分多項式に整数を代入したとき素冪が出てくることがあるのか、というようなことを考えたことがある。 その時は、円分多項式 ${\mathrm{\Phi }}_m(X)$ に対し素数 $p$ と原始 $m$ 乗根 $x$ を固定して、 $x$ から始まる $p$ 進 $m$ 乗根の展開に $0$ が沢山続くと…。 詳細は忘れたが、まあ不都合が発生するということになっていたはずである。 というようなわけで、$p$ 進展開を計算させてみた記憶がある。 最近 ABC予想入門 という新書を読んだので、それをこの素冪の問題に応用してみようと思う。 abc予想: 任意の $ϵ>0$ に対して, ある正の定数 $K(ϵ)\ge 1$ が存在して, 次を満たす: $a$, $b$, $c$ が互いに素な整数で $a+b=c$ を満たすならば, 不等式 \[\max \{|a|, |b|, |c|\} $p$, $q$ を素数として、${\mathrm{\Phi }}_q(x)=p^n$ だったとする。 式を書き直すと $x^q-1=(x-1)p^n$ となるので、$a=x^q$, $b=-1$, $c=(x-1)p^n$ として、 予想の前提を満たす。 よって、予想を仮定すれば \[\max \{x^q, 1, (x-1)p^n\} 一方左辺をより小さくして $(x-1)p^n$ として評価すると、 \[p^{n -1 -\epsilon} 今 $ϵ=1/4$、$K=K(1/4)$ とすると、 \[x^{q-5/2} 11/2\) ならば $x$ が十分大きいときに成り立たなくなる。 つまり、abc 予想が成り立てば、各素数 $q\ge 7$ に対し ${\mathrm{\Phi }}_q(x)$ が2次以上の素冪になるような $x$ は有限個しかない。 またその上限は $q$ と abc 予想の定数 $K(1/4)$ で決まる。 実に強力な予想である。