Midnight Floating Thought

概要: 前回 多項式の積を余代数から定義するということをしたが、その余代数の出所はどこだ、というような話。 自然数は加法モノイドであるだけでなく、順序集合である、ということが大事なのではないか。 局所有限な半順序集合(poset) $P$ に対し、その区間(interval)を $[x,y]$ のように書く。 局所有限とは、$x\le y$ なる2元が何であっても $x\le z\le y$ となる $z$ は有限個しかない、という条件である。 体 $K$ を固定して、$P$ の区間を基底にした線型空間 $I_P$ を考える。 $I_P$ に余乗法(comultiplication) $\mathrm{\Delta }$ を $$\mathrm{\Delta }([x,y])=\sum _{z\in [x,y]}[x,z]\otimes [z,y]$$ で定義する。余単位 $ϵ$ は $[x,x]$ に対して $1$、それ以外で $0$となる関数とする。 これによって $I_P$ は余代数となる。 この余代数に対して、双対空間を代数にするために、前回やった積の $m_K\circ (f\otimes g)\circ \mathrm{\Delta }$ という作り方を踏襲すると $$(fg)([x,y])=\sum _{z\in [x,y]}f([x,z])g([z,y])$$ という形で双対空間 $I_P^{\ast }$ が代数になるが、これを $P$ の隣接代数(incidence algebra)という。 ζ関数とかメビウス関数とかを定義して poset に関する議論をするために使うものだ。 そうそう、積の単位元はδ関数（1点からなる区間で 1、 それ以外で 0 となる関数)だ。 モノイドの構造と両立する順序構造を備えたものを順序モノイドという。 ねじれのない(torsion-free)消去的可換モノイドには全順序が入れられる。 多項式を考えるためには $\mathbb{N}$ や ${\mathbb{N}}^n$ などを考える。 後者に全順序が入るのも大事ではあるのだがいったん忘れて、\(\mathbb{N}...